Question

найти площадь параллелограмма диагонали которого равны 3 и 4 а острый угол 60

Answer 1

Пусть а - одна сторона пар-ма, b - вторая. Острый угол по условию 60 градусов, тогда тупой будет 120 градусов.
Тогда по теореме косинусов выразим диагонали пар-ма:
$left { {{a^2+b^2-2abcos60^o=3^2} atop {a^2+b^2-2abcos120^o=4^2}} right. => left { {{a^2+b^2-2ab* frac{1}{2} =9} atop {a^2+b^2-2ab*(-frac{1}{2})=16}} right. => \ => - left { {{a^2+b^2-ab =9} atop {a^2+b^2+ab=16}} right. \ 2ab=7=> ab=7/2 \ + left { {{a^2+b^2-ab =9} atop {a^2+b^2+ab=16}} right. \ 2a^2+2b^2=25=>a^2+b^2=25/2 \ (a+b)^2=a^2+b^2+2ab=25/2+2*7/2=25/2+7=49/2 \ a+b= frac{7}{ sqrt{2} }=>a= frac{7}{ sqrt{2} }-b \ ab=7/2=>(frac{7}{ sqrt{2} }-b)b=7/2=>$
$b^2-7/ sqrt{2}b+7/2=0 \ D=49/4-14=49/4-48/4=1/4=(1/2)^2 \ =>b_{1,2}= frac{7/ sqrt{2} pm 1/2}{2}= frac{7}{2 sqrt{2} } pm frac{1}{4} \ a_{1,2}= frac{7}{ sqrt{2} }-b=frac{7}{ sqrt{2} }-(frac{7}{2 sqrt{2} } pm frac{1}{4})=frac{7}{ sqrt{2} } mp frac{1}{4}$
$S_1= a_1b_1sin60^o= ( frac{7}{2 sqrt{2} } + frac{1}{4})(frac{7}{ sqrt{2} } - frac{1}{4}) frac{ sqrt{3} }{2}= frac{ sqrt{3} }{2}* frac{14+ sqrt{2} }{4 sqrt{2} } * frac{28- sqrt{2}}{4 sqrt{2} } = \ = frac{ sqrt{3} }{2} * frac{390+14 sqrt{2} }{32}= frac{ sqrt{3}(195+7 sqrt{2} ) }{32}$
$S_2= a_2b_2sin60^o= ( frac{7}{2 sqrt{2} } - frac{1}{4})(frac{7}{ sqrt{2} } + frac{1}{4}) frac{ sqrt{3} }{2}= frac{ sqrt{3} }{2}* frac{14- sqrt{2} }{4 sqrt{2} } * frac{28+ sqrt{2}}{4 sqrt{2} } = \ = frac{ sqrt{3} }{2} * frac{390-14 sqrt{2} }{32}= frac{ sqrt{3}(195-7 sqrt{2} ) }{32}$
Два варианта ответа, оба удовлетворяют условию.