Question

Я сделала ошибку в слове "на латыни" написав "на латыне" на какое правило данное слово?

Answer 1

Там нужно смотреть по падежам и склонению.
И. п. - есть- кто? что?- латынь
Р.п. - нет- кого? чего?- латыни
И т.д. :) 

Answer 2

Латынь - это слово 3-го склонения. Так как 3 склонение- это слова женского рода с мягким знаком на конце. Для 3-го склонения проверочным словом можно взять слово "степь". 
Подставляешь слово "степь" в данную тебе ситуацию, на (ком, чем?) степИ.
Следовательно, на конце пишется и. И тогда пишем "на латыни".