Question

Докажите, что если p - простое число и p>=5, то при делении p^2 на 12 в остатке получится 1

Answer 1

Воспользуемся известной теоремой: любое простое число, большее 3, можно представить либо в виде Р = 6К - 1, либо в виде Р = 6К + 1. 
Учитывая это, имеем: Р^ = (6K +/- 1)^ = 36K^ +/- 12K +1 = 12K(3K +/- 1) +1 
А эта запись и означает, что при делении Р^ на 12 в остатке получим 1. 
Если указанная выше теорема Вам не известна, то докажем и её. 
При делении любого натурального числа на 6, возможны следующие остатки: 0, 1, 2, 3, 4 и 5. Значит любое натуральное число возможно представить одним из видов 1) n=6k, 2)n=6k+1, 3)n=6k+2, 4)n=6k+3, 5)n=6k+4 и 6)n=6k+5. 
Легко заметить, что 1) , 3), 4) и 5) представления составные числа. Значит для простых чисел остаются два варианта: 2)-ое и 6)-ое. Последнее можно преобразовать: 6к+5 = 6к+6 -1 =6(к+1) - 1 = 6m-1.И так, если Р простое число, большее 3, то оно запишется либо в виде 6n-1, либо 6n+1.