Question

Решить уравнение: 2 синус в квадрате х минус 3 синус х умноженное на косинус х плюс 4 умноженное на косинус в квадрате х равно 4.

Answer 1

$tt 2sin^2x-3sin xcos x+4cos^2x=4\ 2sin^2x-3sin xcos x+4cos^2x=4(cos^2x+sin^2x)\ 2sin^2x-3sin xcos x+4cos^2x=4cos^2x+4sin^2x\ 2sin^2x+3sin xcos x=0\ sin x(2sin x+3cos x)=0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю

$tt sin x=0~~~Rightarrow~~~ boxed{tt x=pi k,k in mathbb{Z}}$

$tt 2sin x+3cos x=0$

Разделим левую и правую части уравнения на $tt cos xne 0$, получим:

$tt 2tgx+3=0\ tgx=-frac{3}{2} ~~~Rightarrow~~~ boxed{tt x=-arctgfrac{3}{2} +pi n,n in mathbb{Z}}$

Answer 2

$2 {(sinx)}^{2} - 3sinxcosx + 4 {(cosx)}^{2} = 4 \ 2 {(sinx)}^{2} - 3sinxcosx + 4 {(cosx)}^{2} = 4 {(sinx)}^{2} + 4 {(cosx)}^{2} \ - 2 {(sinx)}^{2} - 3sinxcosx = 0 \ - sinx(2sinx + 3cosx) = 0$

Произведение равно нулю только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл

$1) : - sinx = 0 \ x = pi : n$

n принадлежит Z

$2) : 2sinx + 3cosx = 0$

Разделим обе части уравнения на cosx, но cosx ≠ 0

$frac{2sinx}{cosx} + frac{3cosx}{cosx} = 0 \ \ 2tgx + 3 = 0 \ \ tgx = - frac{3}{2} \ \ x = arc : tg( - frac{3}{2} ) + pi : k \ \ x = - arc : tg( frac{3}{2} ) + pi : k$

k принадлежит Z

ОТВЕТ: πn ; - arctg( 3/2 ) + πk , n, k принадлежат Z