Question

В треугольнике ABC AB=BC. На медиане BE отмечена точка M, а на сторонах AB и BC- точки P и K соответственно. (Точки P, M и K не лежат на одной прямой.)


Известно, что угол BMP =угол BMK. Докажите, что:
а) углы BPM и BKM равны;

б) прямые PK и BM взаимно перпендикулярны

Answer 1

а) Рассмотрим треугольники ВРМ и ВКМ. 
1) угол BMP =угол BMK
2) ВЕ = общая
3) угол РВМ = углу КВМ (ВЕ - медиана и биссектриса)
Треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.
А в равных треугольниках соответственные углы равны. Значит, углы BPM и BKM равны.
б) РВ = ВК (из равенства треугольников). Значит, РК параллельна АС. ВЕ - медиана, а значит и высота. Вывод - прямые PK и BM взаимно перпендикулярны.