1)Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющими переменными xy'+y=0
2)Найти частное решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными (1-x^2)dx/dy + xy =0, если x=0, y=4.
3)Найти решение однородного дифференциального уравнения первого порядка x^2 +y^2-2xy*y'=0
4)Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка y"- 4y'+ 4y=0,
5)Найти частное решение дифференциального уравнения 2-го порядка y"+4y'-5y=0, если x=0, y=4, y'=2
Ответы
Ответ дал:
0
1) ![xy'+y=0 xy'+y=0](https://tex.z-dn.net/?f=xy%27%2By%3D0)
Разрешим наше дифференциальное уравнение относительно производной
- уравнение с разделяющимися переменными
Воспользуемся определением дифференциала
![dfrac{dy}{dx} =- dfrac{y}{x} \ \ dfrac{dy}{y} =- dfrac{dx}{x} dfrac{dy}{dx} =- dfrac{y}{x} \ \ dfrac{dy}{y} =- dfrac{dx}{x}](https://tex.z-dn.net/?f=+dfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D+%3D-+dfrac%7By%7D%7Bx%7D+%5C+%5C++dfrac%7Bdy%7D%7By%7D+%3D-+dfrac%7Bdx%7D%7Bx%7D+)
Интегрируя обе части уравнения, получаем
![ln|y|=ln| frac{1}{x} |+ln C\ \ ln|y|=ln| frac{C}{x}| ln|y|=ln| frac{1}{x} |+ln C\ \ ln|y|=ln| frac{C}{x}|](https://tex.z-dn.net/?f=ln%7Cy%7C%3Dln%7C+frac%7B1%7D%7Bx%7D+%7C%2Bln+C%5C+%5C+ln%7Cy%7C%3Dln%7C+frac%7BC%7D%7Bx%7D%7C+)
- общее решение
![(1-x^2) frac{dx}{dy} +xy=0\ \ (1-x^2) frac{dx}{dy} =-xy (1-x^2) frac{dx}{dy} +xy=0\ \ (1-x^2) frac{dx}{dy} =-xy](https://tex.z-dn.net/?f=%281-x%5E2%29+frac%7Bdx%7D%7Bdy%7D+%2Bxy%3D0%5C+%5C+%281-x%5E2%29+frac%7Bdx%7D%7Bdy%7D+%3D-xy)
Разделяем переменные
![dfrac{(x^2-1)dx}{x} = ydy dfrac{(x^2-1)dx}{x} = ydy](https://tex.z-dn.net/?f=+dfrac%7B%28x%5E2-1%29dx%7D%7Bx%7D+%3D+ydy)
интегрируя обе части уравнения, получаем
- общий интеграл
Решение задачи Коши нет, т.к. при х=0 логарифм ln0 не существует
Пример 3.![x^2+y^2-2xycdot y'=0 x^2+y^2-2xycdot y'=0](https://tex.z-dn.net/?f=x%5E2%2By%5E2-2xycdot+y%27%3D0)
Убедимся, является ли дифференциальное уравнение однородным.
![(lambda x)^2+(lambda y)^2-2cdotlambda xcdot lambda ycdot y'=0 |:lambda^2\ \ x^2+y^2-2xyy'=0 (lambda x)^2+(lambda y)^2-2cdotlambda xcdot lambda ycdot y'=0 |:lambda^2\ \ x^2+y^2-2xyy'=0](https://tex.z-dn.net/?f=%28lambda+x%29%5E2%2B%28lambda+y%29%5E2-2cdotlambda+xcdot+lambda+ycdot+y%27%3D0+%7C%3Alambda%5E2%5C+%5C+x%5E2%2By%5E2-2xyy%27%3D0)
Итак, дифференциальное уравнение является однородным.
Исходное уравнение будет уравнением с разделяющимися переменными если сделаем замену
, тогда ![y'=u'x+u y'=u'x+u](https://tex.z-dn.net/?f=y%27%3Du%27x%2Bu)
Подставляем в исходное уравнение
![x^2+u^2x^2-2xcdot ux(u'x+u)=0\ \ x^2(1+u^2-2uu'x-2u^2)=0\ \ x=0\ \ 1-u^2-2uu'x=0\ \ u'= dfrac{1-u^2}{2ux} x^2+u^2x^2-2xcdot ux(u'x+u)=0\ \ x^2(1+u^2-2uu'x-2u^2)=0\ \ x=0\ \ 1-u^2-2uu'x=0\ \ u'= dfrac{1-u^2}{2ux}](https://tex.z-dn.net/?f=x%5E2%2Bu%5E2x%5E2-2xcdot+ux%28u%27x%2Bu%29%3D0%5C+%5C+x%5E2%281%2Bu%5E2-2uu%27x-2u%5E2%29%3D0%5C+%5C+x%3D0%5C+%5C+1-u%5E2-2uu%27x%3D0%5C+%5C+u%27%3D+dfrac%7B1-u%5E2%7D%7B2ux%7D+)
Получили уравнение с разделяющимися переменными
Воспользуемся определением дифференциала
![dfrac{du}{dx} =dfrac{1-u^2}{2ux} dfrac{du}{dx} =dfrac{1-u^2}{2ux}](https://tex.z-dn.net/?f=+dfrac%7Bdu%7D%7Bdx%7D+%3Ddfrac%7B1-u%5E2%7D%7B2ux%7D)
Разделяем переменные
![dfrac{du^2}{1-u^2} = dfrac{dx}{x} dfrac{du^2}{1-u^2} = dfrac{dx}{x}](https://tex.z-dn.net/?f=+dfrac%7Bdu%5E2%7D%7B1-u%5E2%7D+%3D+dfrac%7Bdx%7D%7Bx%7D+)
Интегрируя обе части уравнения, получаем
![lnbigg| dfrac{1}{1-u^2} bigg|=ln|Cx| lnbigg| dfrac{1}{1-u^2} bigg|=ln|Cx|](https://tex.z-dn.net/?f=lnbigg%7C+dfrac%7B1%7D%7B1-u%5E2%7D+bigg%7C%3Dln%7CCx%7C)
![dfrac{1}{1-u^2} =Cx dfrac{1}{1-u^2} =Cx](https://tex.z-dn.net/?f=+dfrac%7B1%7D%7B1-u%5E2%7D+%3DCx)
Обратная замена
- общий интеграл
Пример 4.![y''-4y'+4=0 y''-4y'+4=0](https://tex.z-dn.net/?f=y%27%27-4y%27%2B4%3D0)
Это дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами также однородное.
Воспользуемся методом Эйлера
Пусть
, тогда будем иметь характеристическое уравнение следующего вида:
![k^2-4k+4=0\ (k-2)^2=0\ k_{1,2}=2 k^2-4k+4=0\ (k-2)^2=0\ k_{1,2}=2](https://tex.z-dn.net/?f=k%5E2-4k%2B4%3D0%5C+%28k-2%29%5E2%3D0%5C+k_%7B1%2C2%7D%3D2)
Тогда общее решение будет иметь вид:
- общее решение
Пример 5.![y''+4y'-5y=0 y''+4y'-5y=0](https://tex.z-dn.net/?f=y%27%27%2B4y%27-5y%3D0)
Аналогично с примером 4)
Пусть
, тогда получаем
![k^2+4k-5=0\ (k+2)^2-9=0\ \ k+2=pm 3\ k_1=1\ k_2=-5 k^2+4k-5=0\ (k+2)^2-9=0\ \ k+2=pm 3\ k_1=1\ k_2=-5](https://tex.z-dn.net/?f=k%5E2%2B4k-5%3D0%5C+%28k%2B2%29%5E2-9%3D0%5C+%5C+k%2B2%3Dpm+3%5C+k_1%3D1%5C+k_2%3D-5)
Общее решение:![y=C_1e^{x}+C_2e^{-5x} y=C_1e^{x}+C_2e^{-5x}](https://tex.z-dn.net/?f=y%3DC_1e%5E%7Bx%7D%2BC_2e%5E%7B-5x%7D)
Найдем производную функции
![y'=C_1e^x-5C_2e^{-5x} y'=C_1e^x-5C_2e^{-5x}](https://tex.z-dn.net/?f=y%27%3DC_1e%5Ex-5C_2e%5E%7B-5x%7D)
Подставим начальные условия
![displaystyle left { {{4=C_1+C_2} atop {2=C_1-5C_2}} right. to left { {{C_1=4-C_2} atop {2=4-C_2-5C_2}} right. to left { {{C_1= frac{11}{3} } atop {C_2=frac{1}{3} }} right. displaystyle left { {{4=C_1+C_2} atop {2=C_1-5C_2}} right. to left { {{C_1=4-C_2} atop {2=4-C_2-5C_2}} right. to left { {{C_1= frac{11}{3} } atop {C_2=frac{1}{3} }} right.](https://tex.z-dn.net/?f=displaystyle++left+%7B+%7B%7B4%3DC_1%2BC_2%7D+atop+%7B2%3DC_1-5C_2%7D%7D+right.+to+left+%7B+%7B%7BC_1%3D4-C_2%7D+atop+%7B2%3D4-C_2-5C_2%7D%7D+right.+to+left+%7B+%7B%7BC_1%3D+frac%7B11%7D%7B3%7D+%7D+atop+%7BC_2%3Dfrac%7B1%7D%7B3%7D+%7D%7D+right.+)
- частное решение
Разрешим наше дифференциальное уравнение относительно производной
Воспользуемся определением дифференциала
Интегрируя обе части уравнения, получаем
Разделяем переменные
интегрируя обе части уравнения, получаем
Решение задачи Коши нет, т.к. при х=0 логарифм ln0 не существует
Пример 3.
Убедимся, является ли дифференциальное уравнение однородным.
Итак, дифференциальное уравнение является однородным.
Исходное уравнение будет уравнением с разделяющимися переменными если сделаем замену
Подставляем в исходное уравнение
Получили уравнение с разделяющимися переменными
Воспользуемся определением дифференциала
Разделяем переменные
Интегрируя обе части уравнения, получаем
Обратная замена
Пример 4.
Это дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами также однородное.
Воспользуемся методом Эйлера
Пусть
Тогда общее решение будет иметь вид:
Пример 5.
Аналогично с примером 4)
Пусть
Общее решение:
Найдем производную функции
Подставим начальные условия
Вас заинтересует
1 год назад
6 лет назад
6 лет назад
9 лет назад
9 лет назад
9 лет назад