Question

1)Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющими переменными xy'+y=0
2)Найти частное решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными (1-x^2)dx/dy + xy =0, если x=0, y=4.
3)Найти решение однородного дифференциального уравнения первого порядка x^2 +y^2-2xy*y'=0
4)Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка y"- 4y'+ 4y=0,
5)Найти частное решение дифференциального уравнения 2-го порядка y"+4y'-5y=0, если x=0, y=4, y'=2

Answer 1

1) $xy'+y=0$
Разрешим наше дифференциальное уравнение относительно производной
$y'=- dfrac{y}{x}$ - уравнение с разделяющимися переменными
Воспользуемся определением дифференциала
$dfrac{dy}{dx} =- dfrac{y}{x} \ \ dfrac{dy}{y} =- dfrac{dx}{x}$
Интегрируя обе части уравнения, получаем
$ln|y|=ln| frac{1}{x} |+ln C\ \ ln|y|=ln| frac{C}{x}|$
$y= dfrac{C}{x}$ - общее решение

$(1-x^2) frac{dx}{dy} +xy=0\ \ (1-x^2) frac{dx}{dy} =-xy$
Разделяем переменные
$dfrac{(x^2-1)dx}{x} = ydy$

интегрируя обе части уравнения, получаем

$-ln|x|+ dfrac{x^2}{2} = dfrac{y^2}{2} +C$ - общий интеграл

Решение задачи Коши нет, т.к. при х=0 логарифм ln0 не существует

Пример 3. $x^2+y^2-2xycdot y'=0$
Убедимся, является ли дифференциальное уравнение однородным.
$(lambda x)^2+(lambda y)^2-2cdotlambda xcdot lambda ycdot y'=0 |:lambda^2\ \ x^2+y^2-2xyy'=0$

Итак, дифференциальное уравнение является однородным.
Исходное уравнение будет уравнением с разделяющимися переменными если сделаем замену 
$y=ux$, тогда $y'=u'x+u$

Подставляем в исходное уравнение

$x^2+u^2x^2-2xcdot ux(u'x+u)=0\ \ x^2(1+u^2-2uu'x-2u^2)=0\ \ x=0\ \ 1-u^2-2uu'x=0\ \ u'= dfrac{1-u^2}{2ux}$

Получили уравнение с разделяющимися переменными

Воспользуемся определением дифференциала

$dfrac{du}{dx} =dfrac{1-u^2}{2ux}$

Разделяем переменные

$dfrac{du^2}{1-u^2} = dfrac{dx}{x}$

Интегрируя обе части уравнения, получаем

$lnbigg| dfrac{1}{1-u^2} bigg|=ln|Cx|$

$dfrac{1}{1-u^2} =Cx$

Обратная замена

$dfrac{x^2}{x^2-y^2} =Cx$ - общий интеграл

Пример 4. $y''-4y'+4=0$
Это дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами также однородное.
Воспользуемся методом Эйлера
Пусть $y'=e^{kx}$, тогда будем иметь характеристическое уравнение следующего вида:
$k^2-4k+4=0\ (k-2)^2=0\ k_{1,2}=2$

Тогда общее решение будет иметь вид:

$y=C_1y_1+C_2y_2=C_1e^{2x}+C_2xe^{2x}$ - общее решение

Пример 5. $y''+4y'-5y=0$
Аналогично с примером 4)
Пусть $y=e^{kx}$, тогда получаем
$k^2+4k-5=0\ (k+2)^2-9=0\ \ k+2=pm 3\ k_1=1\ k_2=-5$

Общее решение: $y=C_1e^{x}+C_2e^{-5x}$

Найдем производную функции
$y'=C_1e^x-5C_2e^{-5x}$

Подставим начальные условия

$displaystyle left { {{4=C_1+C_2} atop {2=C_1-5C_2}} right. to left { {{C_1=4-C_2} atop {2=4-C_2-5C_2}} right. to left { {{C_1= frac{11}{3} } atop {C_2=frac{1}{3} }} right.$

$y=frac{11}{3} e^x+frac{1}{3} e^{-5x}$ - частное решение