Question

Произведение трех последовательных членов геометрической прогрессии с отрицательным знаменателем равно 125. Найдите наибольшую сумму этих трех членов среди
всех прогрессий, обладающих указанными свойствами

Answer 1

$q<0, \ bcdot bqcdot bq^2=125, \ b^3q^3=125, \ (bq)^3=5^3, \ bq=5, \ q= frac{5}{b}, \ S_3= frac{b(1-q^3)}{1-q}=frac{b(1-q)(1+q+q^2)}{1-q}=b(1+q+q^2), \ S(q)=frac{5(1+q+q^2)}{q}, \ S'(q)=5cdot frac{(1+q+q^2)'cdot q-(1+q+q^2)cdot q'}{q^2} = 5cdot frac{(1+2q)cdot q-(1+q+q^2)}{q^2} = \ = 5cdot frac{(1+2q)cdot q-(1+q+q^2)}{q^2} = 5cdot frac{q+2q^2-1-q-q^2}{q^2} =frac{5(q^2-1)}{q^2},$
$S'(q)=0, frac{5(q^2-1)}{q^2}=0, \ q^2-1=0, \ (q+1)(q-1)=0, \ q+1=0, q_1=-1, \ q-1=0, q_2=1>0, \ q<-1, S'(q)>0, S(q)nearrow, \ -1<q<1, S'(q)<0, S(q)searrow, \ S(-1)= frac{5(1-1+(-1)^2)}{-1} = -5.$