Question

При каких значениях a многочлен F(x)=2x^4+ax^3-9x^2+23x-20 можно разделить на многочлен G(x)=x^2+3x-a ? Желательно при решении воспользоваться теоремой Безу. ^-это степень.

Answer 1

Согласно теореме Безу остаток от деления полинома на двучлен равен значению полинома в корне этого двучлена,в данной задаче на полином G(x) никаких дополнительных условий не наложено,значит он может быть неприводимым над полем вещественных чисел,однако все равно раскладываться в произведение двучленов вида $G(x)=(x-z)(x-frac{ }{z})$

Где $frac{ }{z}$ комплексно сопряжен z.

Полином G(x) примет вид $G(x)=x^2+2Re(z)x+|z|$

Re(z)-вещественная часть z,$|z|=sqrt{frac{9}{4}+frac{|9+4a|}{4}}$-модуль числа z.

Очевидно,что подставляя получившиеся корни в исходный многочлен используя теорему Безу вычисление получается мягко говоря неудобным.

Аналогичная ситуация со схемой Горнера.

А вот при делении полиномов столбиком исходный многочлен представим в виде:

$F(x)=G(x)(2x^2+(a-6)x-(a-3))+(-a-3)x^2+(a^2-6a+23)x-20$

Очевидно,что степень остатка должна быть меньше степени делителя и мы можем остаток разделить на полином G(x),домноженный на (-a-3),тогда для того чтобы остаток от деления был равен нулю,то есть чтобы F(x) делился на G(x) должна выполняться система:

$<span>left { {{a^2-6a+23=-3a-9} atop {a^2+3a=-20}} right$

Которая не имеет решений ни в поле действительных,ни в поле комплексных чисел.

Значит ни при каких значениях a полином G(x) не является делителем F(x).