Question

Пусть a+b+c=1 и a, b, c >0. Найдите минимум a²+2b²+c².

Answer 1

 
 $a+b+c=1$ , из известных неравенств ,   $a^2+b^2 geq 2ab\ b^2+c^2 geq 2bc$ суммируем 
 $a^2+2b^2+c^2 geq 2ab+2bc$  можно сделать вывод что при $a=c$   $a^2+2b^2+c^2$ и достигает наименьшего значения 
 $a^2+2b^2+c^2 geq 4ab\ 2a^2+2b^2 geq 4ab\ 2a+b=1\ \ a^2+2b^2+c^2 geq 2a^2+2(1-2a)^2$ 
 Рассмотрим функцию 
  $f(a)=2a^2+2(1-2a)^2\ f(a)=10a^2-8a+2\ 10>0$  это график параболы ,  и ее ветви направлены вверх  относительно оси $OY$ 
  По известной формуле $f_{min} = frac{8}{2*10} = frac{2}{5}$ 
 Ответ  наименьшее значение функций равно $f_{min}=frac{2}{5}$,ооно достигается при $a=c=frac{2}{5}\ b=frac{1}{5}$