Question

Решите пожалуйста
Очень надо, срочно!

Answer 1

1) Проверяем выполнение равенства для n=1
$frac{1}{(6cdot1-5)(6cdot1+1)}= frac{1}{6cdot1+1}$-верно.
2) Предположим, что равенство выполняется для n=k. Пусть равенство
$frac{1}{1cdot7}+ frac{1}{7cdot13}+...+ frac{1}{(6n-5)(6n+1)}= frac{n}{6n+1}$- верно
3) И докажем используя равенство пункта 2), что верно  равенство для n=k+1:
$frac{1}{1cdot7}+ frac{1}{7cdot13}+...+ frac{1}{(6n-5)(6n+1)}+ frac{1}{(6n+1)(6n+7)} = frac{n+1}{6n+7}$
Заменим первые k слагаемых слева их суммой :
$frac{1}{1cdot7}+ frac{1}{7cdot13}+...+ frac{1}{(6n-5)(6n+1)}+ frac{1}{(6n+1)(6n+7)} =frac{n}{(6n+1)}+ frac{1}{(6n+1)(6n+7)}= \ = frac{n(6n+7)+1}{(6n+1)(6n+7)}= frac{6n ^{2} +7n+1}{(6n+1)(6n+7)}= frac{(6n+1)(n+1)}{(6n+1)(6n+7)}= frac{n+1}{6n+7}$
Все три пункта проверены.
Равенство верно для любого натурального n на основании приницпа математической индукции