Question

Решение иррациональных неравенств

Answer 1

1. Достаточо часто при решении иррациональных неравенств после преобразований получаютлучают неравенство вида  >  В этом случае обе части неравенства положительны и их можно возводить в квадрат. Возведение обеих частей в квадрат в общем случае позволяет получить неравенство, которое является следствием данного. Чтобы отсеять посторонниие решения находят ОДЗ исходного (данного) неравенства и находят пересечение этих множеств.Пример 1. Решить иррациональное неравенство. > Решение.1) Найдем ОДЗ.x + 5 0 и 20 - x 0;-5 x 20, следовательно, ОДЗ - [-5; 20] (1)2) Возведем обе части неравенства в квадрат. x + 5 > 20 - x;2x > 15; x > 7,5, следовательно решение этого неравенства - (7,5; +) (2).3) Найдем пресечение множеств (1) и (2), это будет множество (7,5; 20].Ответ: (7,5; 20]Можно поступить иначе, сразу заменить исходное неравенство системой неравенств и решать полученную систему неравенств.
 Заметим, что f(x) > g(x) и g(x)0, значит в силу транзитивного сойства неравенств, всюду, где выполняются указанные неравенства, f(x)0 и поэтому систему можно заменить другой системой  такая замен существенно упрощает решение иррационального уравнения.Пример 2. Решить неравенство  > 4 - x2 > x + 5;
x + 50;
x2 + x + 1 < 0;
x-5;Квадратный трехчлен x2 + x + 1 имеет положительный старший коэффициент и отрицательный дискриминант, следовательно, он принимает только положительные значение, а это значит, что неравенство x2 + x + 1 < 0; решений не имеет. Решение системы есть пустое множество.Ответ: xПример 3. Решить неравенство Решение.Составим систему неравенств.x3 + x2 + x + 2 0,
x2 + x + 100,
x3 + x2 + x + 2 > x2 + x + 10;Так как первое неравенство является следстствие второго и третьего неравенств, его можно опустиь.x2 + x + 100,
x3 + x2 + x + 2 > x2 + x + 10;
x2 + x + 100,
x3  > 8;
У квадратного трехчлена a = 1 и D = -39, следовательно, он принимает положительные значени на всей области определения.(-; +),
(2; +);
Ответ: (2; +).2. Теперь рассмотрим уравнения вида  > g(x). Поскольку левая часть неравенства может принимать как положительные так и отрицательные значения, то возводить без определенных условий обе части в квадрат нельзя. Мы должны рассмотреть два случая: g(x) < 0 и g(x) > 0, то есть неравенство равносильно совокупности двух систем неравенств.Так как g(x) > 0, то (g(x))2 > 0 и, в силу транзитивного свойства неравенств, во второй системе первое неравенство можно опустить.Пример 4. Решить неравенство  > x + 1.1. Решим первую систему.x + 3 0,
x + 1 < 0;

x -3,
x < -1;

Решением этой системы является х[-3; -1).l. Решим вторую систему.x + 3 0,
x + 1  0;
x + 3 > (x + 1)2:

x  -1;
x + 3 > x2 + 2x +1;

x  -1;
x2 + x - 2 < 0;

У квадратного трехчлена x2 + x - 2  a = 1, D = 1 + 8 = 16 > 0, x1 = -2, x2 = 1.x  -1;
-2 < x < 1;

Решение второй системы x[-1; 1). Объеденив два полученных множества, получим множество являющееся решением иррационального уравнения х [-3; 1).Ответ: [-3; 1)..3. Неравенства вида  < g(x). Из определения квадратного корня следует, что 0, поэтому g(x) > 0. Тогда Неравенство g(x) > 0 в этой системе  опустить в общем случае нельзя.
Пример 5. Решить неравенство 2x - 2.x2 - 5x + 4 0,
2x - 20;
x2 - 5x + 4  (3x - 3)2;

x 1 x 4,
x 1;
(x - 1)(x - 4) 4(x - 1) 2;

x 1 или x 3,
x 1;
(x - 1)((x - 3) - 4(x - 1))0;

x 1 или x 3,
x 1;
(x - 1)(- 3x + 1)0;

x 1 или x 3, (1)
x 1,                   (2)
x 1 или x. (3)
Ответ: {1}[4; +)4. Неравенство вида  + > m(x). Чтобы избавиться от иррациональности в таких неравенствах приходится несколько раз возводить в квадрат обе части неравенства, при этом мы должны учитывать, что возводить в квадрат обе части неравенства можно в тех случаях, когда обе части либо положительны либо отрицательны (в последнем случае необходимо менять знак неравенства). Нужно также учитывать, что при возведении в квадрат может произойти расширение ОДЗ, что приведет к появлению посторонних решений, их нужно отсеять. Пример 6. Решить неравенство   - Решение.Найдем ОДЗ. Для этого нам необходимо решить систему неравенств.x0,
10 - x0;
x - 50;

x0,
x10;  5  x10.
x 5;

Таким образом ОДЗ данного неравенства есть множество чисел принадлежащих промежутку [5; 10]Перенесем второе слагаемое в левую часть неравенства  + , тогда при любом значении переменной из ОДЗ обе части положительны. Возведем их в квадрат.x + x - 5 + 2  10 - x;2 15 - 3x;В данном конкретном случае можно, по моему мнению, отклонится от стандартной схемы и вот почему. В правой части неравенства задана линейная функция t(x) = 15 - 3x, заданная на промежутке [5; 10]. Её угловой коэффициент k = -3, следовательно, она убывает и так как на концах промежутка она принимает соответственно значения t(5) = 0, t(10) = -15, то на указанном промежутке t(x)0. На этом же промежутке 0 и 0 (из определения квадратного корня), следовательно, на указанном промежутке неравенство 2  15 - 3x   верно при любом значении переменной из ОДЗ.