Question

Помогите пожалуйста
Помогите пожалуйста

Answer 1

$1) intlimits { frac{10 ^{x}+7cdot 2 ^{x} }{5 ^{x} } } , dx= intlimits {2 ^{x} } , dx+7intlimits { (frac{2}{5}) ^{x} } , dx= frac{2 ^{x} }{ln2}+7cdot frac{( frac{2}{5}) ^{x} }{ln frac{2}{5} }+C \ 2) intlimits{ frac{tg ^{4} }{cos ^{2}x } } , dx = intlimits{tg ^{4}x , d(tgx) = frac{tg ^{5}x }{5}+C$
$3) intlimits{ frac{1}{ sqrt{ x^{2} +x+1} } } , dx =intlimits{ frac{d(x+ frac{1}{2}) }{ sqrt{(x+ frac{1}{2}) ^{2} +frac{3}{4}} } } , =ln|x+ frac{1}{2}+ sqrt{ x^{2} +x+1}|+C$
$4) intlimits {( x^{2} -1)e ^{x} } , dx=[x^{2}-1-u, e ^{x} dx=vRightarrow du=2xdx, v=e ^{x}]= \ =e ^{x}cdot ( x^{2} -1)-2 intlimits {xcdot e ^{x} } , dx=[x=u,dv= e ^{x} dx Rightarrow du=dx, v=e ^{x}] = \=e ^{x}cdot ( x^{2} -1)-2 cdot (xcdot e ^{x}- intlimits{e ^{x} } , dx)= \ =e ^{x}cdot ( x^{2} -1)-2 cdot xcdot e ^{x}+2e ^{x}+C =e ^{x}cdot ( x^{2} -2x+1)+C$
$5) intlimits^3_2 { frac{dx}{(x+3) ^{3} } } ,= frac{(x+3) ^{-3+1} }{(-3+1)}|^3_2 = -frac{1}{2}( frac{1}{36}- frac{1}{25})= frac{-(25-36)}{36cdot 50}= frac{11}{1800}$
$6) intlimits^1_0 { frac{x}{1+ sqrt{x} } } , dx=[ sqrt{x} =tRightarrow x=t ^{2}Rightarrow dx=2tdt||x=0Rightarrow t=0|| \ x=1Rightarrow t= 1]= intlimits^1_0 { frac{t ^{2} }{1+ t} } } ,2t dt=2intlimits^1_0 { frac{t ^{3} }{1+ t} } } ,dt=2intlimits^1_0 {(t ^{2}-t+1- frac{1}{1+t}) } ,dt= \ =(2 frac{t ^{3} }{3}-t ^{2} +2t-2ln|t+1|)^1_0 = frac{2}{3}-1+2-2ln2$
7) Разложим подынтегральную дробь на простейшие дроби методом неопределенных коэффициентов
$frac{1 }{(x-1)(x-2)(x-3)}= frac{A}{x-1} + frac{B}{x-2} + frac{C}{x-3}$
Приводим справа к общему знаменателю и приравниваем числители. Дроби равны. Знаменатели равны.
1=A(x-2)(x-3)+B(x-1)(x-3)+C(x-1)(x-2)
при х=1
1=A·(-1)(-2)    ⇒2A=1  
 A=1/2
при х=2
1=В·1(-1)⇒ В=-1
при х=3
1=С·2·1      ⇒ С=1/2
$intlimits { frac{dx}{(x-1)(x-2)(x-3)} } ,=intlimits { frac{dx}{2(x-1)} },- intlimits { frac{dx}{(x-2)} },+ intlimits { frac{dx}{2(x-3)} },= \ =frac{1}{2}ln|x-1|-ln|x-2|+frac{1}{2}ln|x-3|+C$
$8) intlimits^{infty}_{-infty} { frac{5x}{1+ x^{2} } } , dx = frac{5}{2} intlimits^{infty}_{-infty} { frac{2x}{1+ x^{2} } } , dx=frac{5}{2} intlimits^{infty}_{-infty} { frac{d(1+ x^{2} )}{1+ x^{2} } } ,= \ = frac{5}{2}lim_{ Ato- infty,Btoinfty} (ln|1+ x^{2} ||)|^{B}_{A}= \ frac{5}{2}lim_{ Ato- infty,Btoinfty} (ln|1+ B^{2} |-ln|1+A ^{2} |)= \ =frac{5}{2}lim_{ Ato- infty,Btoinfty} (ln |frac{1+B ^{2} }{1+A ^{2} }| )$
Предел не существует. Интеграл расходится
$9) intlimits^4_1 { frac{ sqrt{x} }{x-1} } , dx = lim_{epsilon to 0} intlimits^4_{1-epsilon} { frac{ sqrt{x} }{x-1} } , dx = lim_{epsilon to 0} (2 sqrt{x} +2ln| frac{ sqrt{x} -1}{ sqrt{x} +1}|)|^4_{1-epsilon} =\ =2 sqrt{4}+2ln frac{ sqrt{4} -1}{ sqrt{4}+1 }- lim_{epsilon to 0}2 sqrt{(1-epsilon)} -2ln| frac{ sqrt{1-epsilon} -1}{ sqrt{1-epsilon}+1 }|$
расходится, так как ln0 стремится к минус бесконечности