Question

заменить слово возиться стилистически нейтральным синонимом

Answer 1

Это слово многозначное, поэтому сначала определим его значения:
1)суетливо двигаться 
2) заниматься чем-то трудным
3) делать что-то медленно.

СИНОНИМЫ к трем значениям:
1) хлопотать
2) разбираться
3) медлить