Question

Решить подробно .Спасибо.

Answer 1

1) f`(x)=(1+cosx)`·sinx+(1+cosx)·(sinx)`=(-sinx)·sinx+(1+cosx)·(cos)=-sin²x+cosx+cos²x=
=-1+cos²x+cosx+cos²x=2cos²x+cosx-1
Приравниваем производную к нулю:
   2cos²x+cosx-1=0
D=1-4·2·(-1)=1+8=9=3²
cosx=(-1-3)/4       или    cos x=(-1+3)/4
cosx =- 1              или    cos x=1/2
x=π+2πk, k∈Z                x=±(π/3)+2πn, n∈Z
Отметим эти точке на отрезке [0;π]
[0]---------(π/3)------------------[π]
Считаем знак на [0;π/3),  при х=π/4
f`(π/4)=2·(1/2)+(√2/2)-1=√2/2>0  ставим знак  + на [0;π/3)    
Считаем знак на (π/3;π],  при х=π/2
f`(π/2)=2·(0)+(0)-1=-1<0  ставим знак  - на (π/3;π]  
Знак производной:
          +                      -
  [0]---------(π/3)------------------[π]
     f(x) возр            f(x)  убывает
π-(π/3)=2π/3
Ответ. 2π/3

2) Находим частные производные:
Р`(x)= - sin x·cos y·cos(x+y) +cos x·cos y·(- sin (x+y)) = - cos y·(sinx·cos(x+y) + cosx·sin (x+y))=
= - cos y ·sin (x + x + y)=- cos y · sin (2x + y)
Р`(y)= cos x·(-sin y)·cos(x+y) +cos x·cos y·(- sin (x+y)) = - cos x·(siny·cos(x+y) + cosy·sin (x+y))=
= - cos x ·sin (y + x + y)=- cos x · sin (x + 2y)
Приравниваем частные производные к нулю, находим стационарные точки
$left { {{cosycdot sin(2x+y)=0} atop {cosxcdot sin(x+2y)=0}} right.$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Система распадается на 4 системы:
$1) left { {{cosy=0} atop {cosx=0}} right. \ \ 2) left { {{cosy=0} atop {sin(x+2y)=0}} right. \ \ 3)left { {{sin(2x+y)=0} atop {cosx=0}} right. \ \4)left { {{sin(2x+y)=0} atop {sin(x+2y)=0}} right.$
Решение первой системы  - (π/2 + πk; π/2 + πn)  k,n ∈Z
Решение второй системы  - ( πk; π/2 + πn)  k,n ∈Z
Решение третьей системы  - (π/2 + πk; πn)  k,n ∈Z
Решение четвертой системы  - (π(n-2k)/3 ; π(k-2n)/3 )  k,n ∈Z

Почти во всех точках Р=0
Проверим точку из решений четвертой системы при n=k=1 получим точку
(-π/3; -π/3)
P(-π/3; -π/3)=cos(-π/3)·cos(-π/3)·cos(-2π/3)=( косинус  четная функция)=cos(π/3)·cos(π/3)·cos(2π/3)=(1/2)·(1/2)·(-1/2) =-(1/8)=-0,125 - наименьшее значение произведения