Question

Помогите решить , я не понимаю очень срочно

Answer 1

3^(log2(x^2))+2*IxI^(log2(9)<=3*(1/3)^(log1/2(2x+3))
ОДЗ: x≠0; 2x+3>0⇒x>-3/2
Применяемые формулы: a^(m/n)=(a^m)^(1/n); (a^m)^n=a^(m*n)
Все формулы справедливы как справа налево, так и слева направо
a^(loga(b)=b - основное логарифмическое тождество
Читается: a в степени логарифм b по основанию a равен  b
Формулы перехода к другому основанию:
loga(b)=logc(b): logc(a); loga(b)=1:logb(a), где b>0, c>0, c≠1
Перейдем в log2(x^2) к основанию 3, чтобы воспользоваться основным тригонометрическим тождеством
log2(x^2)=log3(x^2):log3(2)⇒3^(log2(x^2))=3^(log3(x^2)/log3(2))=(3^(log3(x^2))^(1/log3(2))=(3^(log3(x^2))^(log2(3)=(x^2)^(log2(3)
(IxI)^(log2(9))=(IxI)^(log2(3^2))=(IxI)^(2log2(3))=(IxI^2)^(log2(3))=(x^2)^(log2(3))
(IxI)^2=x^2
(x^2)^(log2(3)+2(x^2)^(log2(3)=3*(x^2)^(log2(3) - выражение в левой части нер-ва
Займемся правой частью
В показателе степени перейдем к основанию 2:
log1/2(2x+3)=log2(2x+3):log2(1/2)
log2(1/2)=-1, так как 2(-1)=1/2^1=1/2
log1/2(2x+3)=log2(2x+3):(-1)=-log2(2x+3)
Полезна формула a^(-n)=1/a^n
Из выше сказанного имеем:
(1/3)^(log1/2(2x+3))=(3^(-1))^(-log2(2x+3))=3^(log2(2x+3))
Перейдем в log2(2x+3) к основанию 3, чтобы воспользоваться основным тригонометрическим тождеством
log2(2x+3)=log3(2x+3):log3(2)
3^(log2(2x+3))=3^(log3(2x+3):log3(2))=(3^(log3(2x+3))^(1/log3(2)=
=(3^(log3(2x+3))^(log2(3)=(2x+3)^(log2(3)
Итак, справа получаем выражение 3*(2x+3)^(log2(3)
Неравенство имеет вид
3*(x^2)^(log2(3)<=3*(2x+3)^(log2(3)⇒(x^2)^(log2(3)<=(2x+3)^(log2(3)
log2(3)>1
Рассмотрим значения левой и правой частей в области определения (-3/2;+∞)
Нужно определить, где каждое основание больше 1 и где меньше 1. Это нужно для дальнейшего сравнения.
x^2<=1, если -1<=x<=1
x∈(-3/2;-1)⇒x^2>1
x∈[-1;0)∨(0;1]⇒x^2<=1
x∈(1;+∞)⇒x^2>1
2x+3>=1⇒2x>-2⇒x>=-1
x∈(-3/2;-1)⇒2x+3<1
x∈[-1;0)∨(0;1]⇒2x+3>=1
x∈(1;+∞)⇒2x+3>1
Теперь проведем сравнение  в каждом интервале
1) x∈(-3/2;-1)
x^2>1; (2x+3)<1⇒(x^2)^(log2(3))>(2x+3)^(lo2(3))
В этом интервале решений нет
2) x∈[-1;0)∨(0;1]
x^2<=1; 2x+3>=1⇒(x^2)^(log2(3))<=(2x+3)^(log2(3))
Каждое значение из этого интервала является решением
3)x∉(1;+∞)
x^2>=1; 2x+3>=1
Неравенство будет верным, если x^2<=2x+3⇒x^2-2x-3<=0
Решим уравнение: x^2-2x-3=0. По теореме Виетта x1+x2=2; x1*x2=-3⇒
x1=3; x2=-1. Эти значения разбивают числовую ось на 3 промежутка:
(-∞;-1); [-1;3]; (3;+∞)
По методу интервалов в крайнем справа будет +, дальше идет чередование.
x^2-2x-3<=0⇒x∈[-1;3], а в нашем интервале x∈(1;3]
Объединяя 2) и 3) получаем x∈[-1;0)∨(0;3]