Question

Около сферы радиуса R описана правильная четырехугольная пирамида, плоский угол при вершине которой равен α. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Объясните, пожалуйста, как получить ответ

Answer 1

Ответ:

Sбок = (4·R²/(tg(α/2)) · (1+tg(α/2))/(1-tg(α/2)). Или

Sбок = (4·R²/(tg(α/2)) · Cosα/(1-sinα).

Объяснение:

Пирамида ПРАВИЛЬНАЯ. => ABCD - квадрат. РО — высота пирамиды. PN - апофема (высота) грани. DN = NC = ON. SO = R. ∠DPC = α.

Рассмотрим сечение MPN пирамиды. Это равнобедренный треугольник с вписанной в него окружностью, центр которой лежит на точке пересечения биссектрис углов треугольника. =>

SN - биссектриса угла ∠PNO. Пусть  ∠PNO = β.

Sбок = 4·(1/2)·DC·PN. (площадь четырех равных граней - равнобедренных треугольников).

В прямоугольном равнобедренном треугольнике DPС:

∠DPN = α/2 (PN - высота, медиана и биссектриса).

DN/PN = tg(α/2) => PN = DN/tg(α/2). DC = 2DN.  =>

Sбок = 4·(1/2)·2DN·DN/tg(α/2) = 4·DN²/tg(α/2).

Задача: выразить DN через R и угол α.

В прямоугольном треугольнике РОN:

Сosβ = ON/PN = DN/PN = tg(α/2). Тогда

Sinβ = √(1 - Cos²β) = √(1-tg²(α/2)).

В прямоугольном треугольнике SОN:

SO/ON = tg(β/2) = SO/DN.  =>  

DN = R/tg(β/2).

По формуле половинного аргумента:

tg(β/2) = Sinβ/(1+Cosβ).  =>

DN = R·(1+Cosβ)/Sinβ = R·(1+tg(α/2))/√(1-tg²(α/2)). Тогда

Sбок = 4·DN²/tg(α/2) = 4·R²·(1+tg(α/2))²/(tg(α/2)(1-tg²(α/2)) или

Sбок = (4·R²/(tg(α/2)) · (1+tg(α/2))/(1-tg(α/2)). (1).  Это ответ.

А далее - для любителей тригонометрии "танец с бубном":

(1+tg(α/2)) = (1+sin(α/2)/cos((α/2)) = (cos(α/2)+sin(α/2))/cos(α/2).

(1-tg(α/2)) = (cos(α/2)-sin(α/2))/cos(α/2).  =>

(1+tg(α/2))/(1-tg(α/2)) =  (cos(α/2)+sin(α/2))/(cos(α/2)-sin(α/2))

По формуле двойного аргумента:

Cosα = (cos²(α/2)-sin²(α/2)) = (cos(α/2)-sin(α/2))·(cos(α/2)+sin(α/2)).  =>

(cos(α/2)+sin(α/2)) = Cosα/(cos(α/2)-sin(α/2)). (2).

И вот тогда, подставив (2) в (1), мы получим ответ, который Вам нужен по условию:

Sбок = (4·R²/(tg(α/2)) · Cosα/((cos(α/2)-sin(α/2))² =>

Sбок = (4·R²/(tg(α/2)) · Cosα/(1-2cos(α/2)·sin(α/2))  => (по формуле приведения)

Sбок = (4·R²/(tg(α/2)) · Cosα/(1-sinα).