Question

как доказать, что в воде есть воздух

Answer 1

рыбы живут в ней) а рыбам нужен воздух, включая логику можно говорить что в воде есть воздух)

Answer 2

Суть такова. 
Вода - жидкость. 
А газы (все !) и многие твердые вещества в жидкости растворяются. 
Поэтому атмосфера Земли немного растворена в океанах, реках, озерах и т.д. 
Состав растворенного воздуха не идентичен атмосферному, т.к. у разных газов разная растворимость - у кислорода - одна, у азота - другая, но ВСЕ газы атмосферы в той или иной пропорции в воде присутствуют. 
Даже в дистиллированной, через час после кипячения уже будут все газы. 
Особенно важен растворенный кислород - им дышат все водные организмы.