Question

Исследовать функцию и построить её график: y=3x^2-x^3

Answer 1

Результаты исследования графика функции

Область определения функции. ОДЗ:

Точка пересечения графика функции с осью координат Y:График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x=0 в 3*x^2-x^3. 

Результат: y=0. Точка: (0, 0)Точки пересечения графика функции с осью координат X:График функции пересекает ось X при y=0, значит нам надо решить уравнение:3*x^2-x^3 = 0 Решаем это уравнение здесь и его корни будут точками пересечения с X:
x=0. Точка: (0, 0)x=3.00. Точка: (3.00, 0)
Экстремумы функции:Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение y'=0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:y'=-3*x^2 + 6*x=0 
Решаем это уравнение и его корни будут экстремумами:x=0. Точка: (0, 0)x=2.00. Точка: (2.00, 4.00)
Интервалы возрастания и убывания функции:Найдем интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим на ведет себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:Минимумы функции в точках:0 Максимумы функции в точках:2.00 Возрастает на промежутках: [0, 2.0] Убывает на промежутках: (-oo, 0] U [2.0, oo)Точки перегибов графика функции:Найдем точки перегибов для функции, для этого надо решить уравнение y''=0 - вторая производная равняется нулю, корни полученного уравнения будут точками перегибов указанного графика функции, 
+ нужно подсчитать пределы y'' при аргументе, стремящемся к точкам неопределенности функции:y''=-6*x + 6=0
Решаем это уравнение и его корни будут точками, где у графика перегибы:x=1.00000000000000. Точка: (1.00, 2.00)
Интервалы выпуклости, вогнутости:Найдем интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках изгибов:Вогнутая на промежутках: (-oo, 1.0]Выпуклая на промежутках: [1.0, oo)Вертикальные асимптотыНетуГоризонтальные асимптоты графика функции:Горизонтальную асимптоту найдем с помощью предела данной функции при x->+oo и x->-oo. Соотвествующие пределы находим онлайн:lim 3*x^2-x^3, x->+oo = -oo, значит горизонтальной асимптоты справа не существуетlim 3*x^2-x^3, x->-oo = oo, значит горизонтальной асимптоты слева не существуетНаклонные асимптоты графика функции:Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел данной функции, деленной на x при x->+oo и x->-oo. Находим пределы онлайн:lim 3*x^2-x^3/x, x->+oo = -oo, значит наклонной асимптоты справа не существуетlim 3*x^2-x^3/x, x->-oo = -oo, значит наклонной асимптоты слева не существуетЧетность и нечетность функции:Проверим функци четна или нечетна с помощью соотношений f(x)=f(-x) и f(x)=-f(x). Итак, проверяем:3*x^2-x^3 = x^3 + 3*x^2 - Нет3*x^2-x^3 = -(x^3 + 3*x^2) - Нетзначит, функция не является ни четной ни нечетной.
Для построения графика задаёмся значениями х и рассчитываем значения у:
х  -3     -2   -1   0   1   2   3     4      5
у  54   20    4   0   2   4   0   -16   -50