Question

Найти экстремумы даной функции

$z=-6x^2+y^2-9xy+12$

И обясните пожалуйста как решать подобного рода задания

Answer 1

$z=-6x^2+y^2-9xy+12$

І. Находим частные производные первого порядка

$z'_{x}=-12x-9y;\ z'_{y}=2y-9x;$

ІІ. Ищем критические точки

$z'_{x}=0; z'_{y}=0;$

 

$-12x-9y=0;\ 2y-9x=0;$

 

$4x+3y=0;\ y=4.5x;$

$4x-3*4.5x=0;\ y=4.5x$

M(0;0)- критическая точка

III. Ищем вторые производные

$z^{''}_{x^2}=-12;\ z^{''}_{xy}=-9;\ z^{''}_{y^2}=2$

IV. Находим значение вторых производных в критической точке

$z^{''}_{x^2} (M)=-12;\ z^{''}_{xy}(M)=-9;\ z^{''}_{y^2}(M)=2;\ A=-12; B=-9 ; C=2;\ A<0; Delta=AC-B^2=-12*2-(-9)^2=-24-81=-105<0;$

следовательно в точке М экстремумов нет

ответ: данная функция экстремум не имеет