Question

Решить уравнение (1+y3 )xdx-(1+x2 )y2 dy=0

Answer 1

Уравнение с разделяющимися переменными, разделяем переменные:
$(1+y ^{3} )xdx=(1+ x^{2} )y^{2} dy \ frac{x}{1+ x^{2} }dx= frac{y ^{2} }{1+y^{3} }dy$
Интегрируем
$intlimits {frac{x}{1+ x^{2} }dx= intlimits{frac{y ^{2} }{1+y^{3} }dy}$
подводим переменную под знак дифференциала
$\ frac{1}{2} intlimits {frac{2x}{1+ x^{2} }dx= frac{1}{3} intlimits{frac{3y ^{2} }{1+y^{3} }dy}$
$\ frac{1}{2} intlimits {frac{d(1+x^{2} )}{1+ x^{2} }= frac{1}{3} intlimits{frac{d(1+y ^{3}) }{1+y^{3} }}$

$frac{1}{2} ln|1+ x^{2}|= frac{1}{3}ln|1+y^{3}|+lnC$
или
$ln sqrt{1+ x^{2}} = ln Ccdot sqrt[3]{1+y^{3}} \ sqrt{1+ x^{2}} = Ccdot sqrt[3]{1+y^{3}}$