Question

В треугольнике ABC со сторонами AB=12, BC=11, AC=14 из вершины В опущены перпендикуляры BD и BE на биссектрисы углов BAC и BCA соответственно. Найдите длину отрезка DE.

Answer 1

Положим что биссектриса проведенная к стороне $BC=x$ , $CG=y$ . Углы  $BAC, BCA$ $2a,2b$ соответственно. Используя теорему косинусов найдем углы $a,b$ 
$12^2=11^2+14^2-2*11*14*cos2b\ 11^2=12^2+14^2-2*12*14*cos2a\\ b=frac{arccos(frac{173}{308})}{2} \ a=frac{arccos(frac{73}{112})}{2}$ 
Найдем $BE;BD$ 
 
$S_{BGC} = frac{11y*sin(frac{arccos(frac{173}{308})}{2} ) }{2}}=frac{BE*y}{2}\ BE=11*sin(frac{arccos(frac{173}{308})}{2})\ BD=12*sin(frac{arccos(frac{73}{112})}{2})\\ EBD=frac{arccos(frac{173}{308})}{2}+frac{arccos(frac{73}{112})}{2}$ 
 
По теореме косинусов   $ED^2=BD^2+BE^2-2BD*BE*cosEBD$ 
подставляя найденные значения получим 
 $ED=frac{9}{2}$
 

Answer 2

А если бы стороны равнялись AB=15, BC=21, AC=19?????