Question

Найти сумму корней...

Answer 1

$sqrt{ frac{textbf{5x}}{textbf{x+4}} } textbf{-} sqrt{ frac{textbf{5(x+4)}}{textbf{x}} } textbf{=4}$

Произведем замену:
Пусть $sqrt{ frac{textbf{x+4}}{textbf{x}}} textbf{=t(t} geq textbf{0)}$, тогда имеем

$sqrt{textbf{5}}textbf{t}- sqrt{textbf{5}} frac{textbf{1}}{textbf{t}} textbf{=4}|cdot textbf{t} \ sqrt{textbf{5}} textbf{t}^textbf{2}textbf{-4t-} sqrt{textbf{5}} textbf{=0}$

Найдем дискриминант

$textbf{D=b}^textbf{2}textbf{-4ac=16+20=36}$
Воспользуемся формулой корней квадратного уравнения
                                    $textbf{t}_textbf{1,2}textbf{=} dfrac{textbf{-b}pm sqrt{textbf{D}} }{textbf{2a}}$

$textbf{t}_textbf{1}textbf{=} frac{textbf{1}}{ sqrt{textbf{5}} }$

$textbf{t}_textbf{2}textbf{=}textbf{-} frac{textbf{1}}{ sqrt{textbf{5}} }$-  не удовлетворяет условие при t ≥ 0

Возрашаемся к замене

$sqrt{ frac{textbf{x+4}}{textbf{x}} } textbf{=} frac{textbf{1}}{ sqrt{textbf{5}}} \ textbf{5x+20=x} \ \ textbf{4x=-20} \ \ textbf{x=-5}$

Уравнение имеет 1 корень. Значит произведение корней нет.




Ответ: $textbf{-5}$