Question

Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка: а) найти общее решение;
б) решить задачу Коши.

Answer 1

$1); ; (y^2-3x^2)dy+2xydx=0\\frac{dx}{dy}=-frac{y^2-3x^2}{2xy}, |frac{:y^2}{:y^2}\\x'=-frac{1-3(frac{x}{y})^2}{2(frac{x}{y})}\\u=frac{x}{y}; ,; x=uy; ,; x'=u'y+u; ; (y-peremennaya,x-fynkciya,)\\u'y+u=-frac{1-3u^2}{2u}$

$u'y=frac{3u^2-1}{2u}-u=frac{3u^2-1-2u^2}{2u}=frac{u^2-1}{2u}\\u'=frac{du}{dy}=frac{u^2-1}{2uy}\\int frac{2u, du}{u^2-1}=int frac{dy}{y}\\int frac{d(u^2-1)}{u^2-1}=int frac{dy}{y}\\ln|u^2-1|=ln|y|+ln|C|\\u^2-1=Cy\\frac{x^2}{y^2}=Cy+1; ,; ; x^2=y^2(Cy+1); ; -; ; obshij; integral$

$2); ; y'cdot 3^{x^2}+xcdot 9^{-y}=0; ,; ; y(0)=1.\\y'=frac{-xcdot 9^{-y}}{3^{x^2}}; ,; ; frac{dy}{dx}=frac{-xcdot 9^{-y}}{3^{x^2}}\\frac{dy}{9^{-y}}=-frac{x, dx}{3^{x^2}}; ,; ; int 9^{y}, dy=-int xcdot 3^{-x^2}, dx[, t=-x^2,; dt=-2x, dx,; int 3^{t}cdot frac{dt}{-2}]$

$int 9^{y}, dy=frac{1}{2}int 3^{t}, dt\\frac{9^{y}}{ln9}=frac{1}{2}cdot frac{3^{-x^2}}{ln3}+C_1\\frac{9^{y}}{2ln3}=frac{3^{-x^2}}{2ln3}+frac{C}{2ln3}; ,; ; C_1=frac{C}{2ln3}; (dlya; ydobstva; pereoboznachili)\\9^{y}=C+3^{-x^2}\\y=log_9{(C+3^{-x^2})}$

$y(0)=1,\\9=C+1,C=8\\y=log_9(8+3^{-x^2})$