Question

медиана BM и биссектриса AP треугольника ABC пересекаются в точке K, длина стороны AC относится к длине стороны AB как 5:7, найдите отношение площади четырехугольника KPCM к площади треугольника ABC

Answer 1

По условию АС:АВ=5:7 или АС=5АВ/7.
Т.к. ВМ - медиана, значит АМ=СМ=АС/2. Согласно свойству медианы BM делит треугольник ABC на два равновеликих треугольника АВМ и СВМ:
Sавм=Sсвм=Sавс/2.
Т.к. АР- биссектриса, значит <ВАР=<САР. Согласно свойству биссектрисы АР делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон:
АВ:АС=ВР:РС,
АВ:5АВ/7=ВР:РС
ВР:РС=7:5 или РС=5ВР/7. 
Тогда сторона ВС=ВР+РС=ВР+5ВР/7=12ВР/7
Аналогично и в треугольнике АВМ бисссектриса АК:
АВ:АМ=ВК:КМ, АВ:АС/2=ВК:КМ,
АВ:5АВ/14=ВК:КМ
ВК:КМ=14:5 или КМ=5ВК/14. 
Тогда медиана ВМ=ВК+КМ=ВК+5ВК/14=19ВК/14.
У треугольников АВМ и АКМ одинаковая высота, опущенная из А на сторону ВМ, а если два треугольника имеют одинаковые высоты, то отношение их площадей равно отношению длин оснований (сторон, на которые опущены эти высоты):
Sавм:Sакм=ВМ:КМ=19ВК/14:5ВК/14=19:5
Sакм=5Sавм/19=5Sавс/38
Аналогично у треугольников АВС и АВР одинаковая высота, опущенная из А на сторону ВС, значит Sавс:Sавр=ВС:ВР=12ВР/7:ВР=12:7.
Sавр=7Sавс/12.
Находим площадь четырехугольника Sкрсм:
Sкрсм=Sавс-Sавр-Sакм=Sавс-7Sавс/12-5Sавс/38=65Sавс/228.
Отношение площади Sкрсм:Sавс=65Sавс/228:Sавс=65/228