Question

1/( x+1)+2/(│x│-1 ) ≥ 2/( x-1)

Answer 1

$frac{1}{x+1} + frac{2}{|x|-1} geq frac{2}{x-1}$
Воспользуемся определением абсолютной величины: $left { {{a>0=>|a|=a} atop {a=0=>|a|=0}}atop {a<0=>|a|=-a} right.$
$left[begin{array}{ccc} left { {{x geq 0} atop {frac{1}{x+1} + frac{2}{x-1} geq frac{2}{x-1}}} right. \ left { {{x<0} atop {frac{1}{x+1} + frac{2}{(-x)-1} geq frac{2}{x-1}}} right. end{array}right$
Решаем отдельные случаи
________________________________________________
$frac{1}{x+1} + frac{2}{x-1} geq frac{2}{x-1}$
Отметим ОДЗ:
$left { {{x+1 neq 0} atop {x-1 neq 0}} right. to left { {{x neq -1} atop {x neq 1}} right.$
Домножим к обеям части (x-1)(x+1)
$x-1+2x+2-2x-2=0 \ x-1=0 \ x=1$

Решений этой неравенства: x ∈ [0;1)U(1;+∞).
________________________________________________
Другой случай
          ________             _______             ______                   
$frac{1}{x+1} + frac{2}{-x-1} geq frac{2}{x-1} \ \ frac{1}{x+1} - frac{2}{x+1}-frac{2}{x-1} geq 0 \ \ frac{1}{x+1} - frac{2}{x+1}-frac{2}{x-1}=0|cdot(x+1)(x-1) \ \ x-1-2x+2-2x-2=0 \ \ -3x-1=0 \ \ x= frac{1}{3}$
Решение этой неравенства: x ∈ (-∞;-1)U[-1/3;1)
       ________          __________            ________           

Объедененное решение системы неравенства: $x in (-infty;-1)cup[- frac{1}{3} ;1)cup(1;+infty)$

Ответ: $x in (-infty;-1)cup[- frac{1}{3} ;1)cup(1;+infty)$

Answer 2

ОДЗ /х/≠1⇒х≠-1 и х≠1
1)x<0
1/(x+1)+2/(-x-1)≥2/(x-1)
1/(x+1)-2/(x+1)-2/(x-1)≥0
1/(x+1)+2/(x-1)≤0
(x-1+2x+2)/(x+1)(x-1)≤0
(3x+1)/(x-1)(x+1)≤0
x=-1/3  x=1  x=-1
         _              +            _                  +
---------------------------------------------------------
                 -1              -1/3            1
x∈(-∞;-1) U [-1/3;1)
2)x≥0
1/(x+1)+2/(x-1)-2/(x-1)≥0
1/(x-1)≥0
x-1>0⇒x>1⇒x∈(1;∞)
Объединим решения
x∈(-∞;-1) U [-1/3;1) U (1;∞)