Question

В правильном шестиугольники ABCDEF со стороной 1 найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.
P.s прошу пожалуйста подробно.

Answer 1

В правильном шестиугольнике все стороны равны АВ=ВС=СD=DE=EF=1. а также все углы равны 120°.
Получается треугольник АВС - равнобедренный АВ=ВС и углы при основании равны <ВАС=<ВСА=(180-<АВС)/2=(180-120)/2=30°.
Опустим в треугольнике АВС высоту ВН, она же будет и высотой, и медианой. Центр вписанной окружности будет лежать на ВН.
Из прямоугольного треугольника АВН высота ВН=АВ/2=1/2=0,5 (катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы).
Тогда АН=√(АВ²-ВН²)=√(1-0,25)=√0,75=√3/2, значит сторона АС=2АН=√3.
Полупериметр треугольника АВС р=(2АВ+АС)/2=1+√3/2
Радиус вписанной окружности R
R²=(р-АВ)²(р-АС)/р=(1+√3/2-1)²(1+√3/2-√3) / (1+√3/2)=3/4*(1-√3/2) / (1+√3/2)
R=√(3/4*(1-√3/2) / (1+√3/2))=√3/2*√(1-√3/2)(1+√3/2) / (1+√3/2)²=√3/2(1+√3/2) * √(1-3/4)=√3 / (4+2√3)