Question

Докажите, что при c>0; c≠0 последовательность, заданная формулой $a_{n}$=$( frac{c^{2}+1}{2c})^{n}$ является монотонно возрастающей.

Answer 1

Монотонно возрастающая последовательность характеризуется тем, что для каждого номера n, начиная со второго, верно, что a(n+1)>a(n). Раз так, то рассмотрим разность a(n+1)-a(n)=((c^2+1)/2c)^(n+1)-((c^2+1)/2c)^n=((c^2+1)/2c)^n *((c^2+1)/2c-1) Видим, что вынесенная за скобки величина ((c^2+1)/2c)^n положительна при с>0. А что же осталось в скобках? Приведем к общему знаменателю: (c^2+1-2c)/2c, вилим что в числителе стоит квадрат разности и получаем: ((c-1)^2)/2c Ясно, что при с>0 и с<>1 эта дробь принимает положительные значения, тогда получаем, что a(n+1)-a(n)>0, значит a(n+1)>a(n) и последовательность дейстаительно является монотонно неубывающей

Answer 2

с<>1 то есть любое значение с кроме 1?