Question

сумма второго и восьмого членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна.325/128, а сумма второго и шестого членов, уменьшенная на 65/32, равна четвертому члену этой же прогрессии.

Answer 1

Условие. сумма второго и восьмого членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна.325/128, а сумма второго и шестого членов, уменьшенная на 65/32, равна четвертому члену этой же прогрессии. Найти первый член прогрессии и знаменатель.

       Решение:

Сумма второго и восьмого членов: $b_2+b_8=b_1q+b_1q^7=b_1q(1+q^6)=dfrac{325}{128}$

Сумма второго и шестого членов, уменьшенная на 65/32, равна четвертому члену этой прогрессии:

$b_2+b_6-dfrac{65}{32}=b_4\ \ b_1q+b_1q^5-b_1q^3=dfrac{65}{32}\ \ b_1q(1-q^2+q^4)=dfrac{65}{32}$

Из равенства $b_1q(1+q^6)=dfrac{325}{128}$ заметим, что второй множитель можно разложить на множители по формуле суммы кубов

$b_1q(1+q^2)(1-q^2+q^4)=dfrac{325}{128}$

Подставляем данные, получим

$dfrac{325}{128(1+q^2)}=dfrac{65}{32}\ \ dfrac{5}{4(1+q^2)}=1\ \ 1+q^2=dfrac{5}{4}\ \ q^2=dfrac{1}{4}~~~Rightarrow~~~ q=pm dfrac{1}{2}$

$b_1=pm5$

Ответ: 5; 0.5 и -5; -0.5.