Question

Помогите решить триганометрическое уравнение и неравенства.

Answer 1

№ 28.
$sinx< sqrt{3}*cosx$
$tgx< sqrt{3}$ - разделили обе части на cosx
C помощью окружности находим решение:
$- frac{ pi }{2}+ pi k<x< frac{ pi }{3}+ pi k$  - ответ

№ 29.
Замена: $sinx=t$, t∈[-1;1]
$2t^{2}-3 sqrt{2}*t+2>0$
$2t^{2}-3 sqrt{2}*t+2=0, D=9*2-4*2*2=18-16=2$
$t_{1}= frac{3 sqrt{2}-sqrt{2}}{4}=frac{sqrt{2}}{2}$
$t_{2}= frac{3 sqrt{2}+sqrt{2}}{4}=sqrt{2}$
$t<frac{sqrt{2}}{2}$
$t>sqrt{2}$ - не удовлетворяет условию замены

Вернемся обратно к замене:
$sinx<frac{sqrt{2}}{2}$
$frac{ 3pi }{4}+ 2pi k<x< frac{ 9pi }{4}+ 2pi k$  - ответ

№ 30.
$4sin^{2}x+5sinx+2cos^{2}x>0$
$4sin^{2}x+5sinx+2*(1-sin^{2}x)>0$
$4sin^{2}x+5sinx+2-2sin^{2}x>0$
$2sin^{2}x+5sinx+2>0$

Замена: $sinx=t$, t∈[-1;1]
$2t^{2}+5t+2>0$
$2t^{2}+5t+2=0, D=25-4*2*2=9$
$t_{1}= frac{-5+3}{4}=-frac{1}{2}$
$t_{2}= frac{-5-3}{4}=-2$
$t<-2$ - не удовлетворяет условию замены
$t>-frac{1}{2}$

Вернемся к замене:
$sinx>-frac{1}{2}$
$-frac{ pi }{6}+ 2pi k<x< frac{5pi }{6}+ 2pi k$  - ответ

P.S. Решение с помощью окружности прикреплено