Question

Решить уравнение ...........................

Answer 1

$arcsin frac{x^2-8}{8}=2arcsin frac{x}{4} - frac{ pi }{2}$
Для начала определим область допустимых значений
$left { {{-1 frac{x^2-8}{8} leq 1 } atop {-1 leq frac{x}{4} leq 1 }} right.$
решив систему неравенства, получаем что $|x| leq 4$. Учитывая область значения функции $f(x)=arcsin x$ промежуток $[- frac{ pi }{2} ;frac{ pi }{2} ]$, получаем
$0 leq arcsin frac{x^2-8}{8}+frac{ pi }{2} leq pi \ 0 leq x leq 4$
Поскольку функция $f(x)=cos x$ является монотонной на промежутке $[0; pi ]$, то данное уравнение равносильное такому:
$cos (arcsin frac{x^2-8}{8}+frac{ pi }{2} )=cos (2arcsinfrac{ x }{4} ) \ -sin(arcsin frac{x^2-8}{8})=1-2sin^2(2arcsinfrac{ x }{4} ) \ - frac{x^2-8}{8}=1- 2cdotfrac{x^2}{16}$
Решив уравнение
$- frac{x^2-8}{8} =1- frac{x^2}{8}|cdot 8 \ -x^2+8=8-x^2 \ 0=0$
Итак, при любом х уравнение будет правильное только на отрезке $[0;4]$

Ответ: $x in [0;4]$