Question

Найти размеры цилиндрического бака без крышки, на изготовление которого, при заданном объеме V, пойдет наименьшее количество материала

Answer 1

Наименьшее количество материала потребуется на цилиндрический бак меньшей площади. Площадь нашего бака - это площадь боковой поверхности цилиндра плюс площадь основания, то есть
$S=2pi Rh+pi R^2$
Задача сводится к поиску минимума функции S, описывающей эту площадь. Для этого нужно перейти от функции двух переменных к функции одной переменной.
Размеры цилиндра зависят от двух величин - его высоты и радиуса основания. Выразим высоту цилиндра через известный нам объём и радиус из формулы объёма цилиндра:
$V=pi R^2hRightarrow h=frac{V}{pi R^2}$
Тогда
$S(R)=2{pi}{R}frac{V}{pi R^2}+pi R^2=frac{2V}R+pi R^2$
Для того, чтобы найти минимум функции нужно найти её производную и те точки, в которых она равна нулю.
$S'(R)=-frac{2V}{R^2}+2pi R\2pi R-frac{2V}{R^2}=0\frac{2pi R^2-2V}{R^2}=0\Rneq0\2pi R^3-2V=0\R=sqrt[3]{frac{V}{pi}}$
Осталось подставить в это выражение значение объёма V, вычислить радиус и убедиться в том, что это точка минимума - при прохождении через эту точку производная должна менять знак с минуса на плюс. Тут так и происходит. Найдём высоту цилиндра
$h=frac{V}{pi R^2}=frac{V}{pileft(sqrt[3]{frac{V}pi}right)^2}$

Answer 2

спасибо большое! очень помогли!