Question

Из полукруга радиусом 10 см вырезают равнобочную трапецию. Определить угол
трапеции при основании так, чтобы площадь трапеции была наибольшей.

Answer 1

Площадь трапеции находим как сумму площади прямоугольника со стронами 2у и х и двух прямоугольных треугольников с катетами х и (R-y)

S=2xy+x(R-y) = 2xy+10x-xy=10x+xy
Из треуг ОВх: у=√(100-х²)
S=10x+x√(100-x²)

Находим производную:

$S'=10+ sqrt{100- x^{2}}- frac{ x^{2} }{ sqrt{100- x^{2}}}= frac{10 sqrt{100- x^{2}}+100-2 x^{2} }{ sqrt{100- x^{2}}}=0$

100-x²>0  => x<10

$10 sqrt{100- x^{2}}=2 x^{2} -100$

$100(100- x^{2} )=10000-400 x^{2} +4 x^{4}$

$4 x^{4}-300 x^{2} =0$

$x^{2} ( x^{2} -75)=0$

$x^{2} =0 => x=0$

$x^{2} =75 => x=+-5 sqrt{3}$

Отрицательное и значение равное 0 не имеют смысла.
Значит условию максимальности площади удовлетворяет х=5√3

Из треуг ОВх cosO=5√3/10 = √3/2, что соответствует углу 30 градусов.
Значит угол ВОА=90-30=60 градусов.
Треугольник ВОА - равнобедренный, так как (ВО=ОА=радиусу) с углом при вершине 60 градусов, значит угол в основании равен: (180-60)/2=60 градусов.

Искомый угол - 60 градусов.