Из полукруга радиусом 10 см вырезают равнобочную трапецию. Определить угол
трапеции при основании так, чтобы площадь трапеции была наибольшей.
Ответы
Ответ дал:
0
Площадь трапеции находим как сумму площади прямоугольника со стронами 2у и х и двух прямоугольных треугольников с катетами х и (R-y)
S=2xy+x(R-y) = 2xy+10x-xy=10x+xy
Из треуг ОВх: у=√(100-х²)
S=10x+x√(100-x²)
Находим производную:
![S'=10+ sqrt{100- x^{2}}- frac{ x^{2} }{ sqrt{100- x^{2}}}= frac{10 sqrt{100- x^{2}}+100-2 x^{2} }{ sqrt{100- x^{2}}}=0 S'=10+ sqrt{100- x^{2}}- frac{ x^{2} }{ sqrt{100- x^{2}}}= frac{10 sqrt{100- x^{2}}+100-2 x^{2} }{ sqrt{100- x^{2}}}=0](https://tex.z-dn.net/?f=S%27%3D10%2B+sqrt%7B100-+x%5E%7B2%7D%7D-+frac%7B+x%5E%7B2%7D+%7D%7B+sqrt%7B100-+x%5E%7B2%7D%7D%7D%3D+frac%7B10+sqrt%7B100-+x%5E%7B2%7D%7D%2B100-2+x%5E%7B2%7D+%7D%7B+sqrt%7B100-+x%5E%7B2%7D%7D%7D%3D0+++)
100-x²>0 => x<10
![10 sqrt{100- x^{2}}=2 x^{2} -100 10 sqrt{100- x^{2}}=2 x^{2} -100](https://tex.z-dn.net/?f=10+sqrt%7B100-+x%5E%7B2%7D%7D%3D2+x%5E%7B2%7D+-100+)
![100(100- x^{2} )=10000-400 x^{2} +4 x^{4} 100(100- x^{2} )=10000-400 x^{2} +4 x^{4}](https://tex.z-dn.net/?f=100%28100-+x%5E%7B2%7D+%29%3D10000-400+x%5E%7B2%7D+%2B4+x%5E%7B4%7D+)
![4 x^{4}-300 x^{2} =0 4 x^{4}-300 x^{2} =0](https://tex.z-dn.net/?f=4+x%5E%7B4%7D-300+x%5E%7B2%7D+%3D0+)
![x^{2} ( x^{2} -75)=0 x^{2} ( x^{2} -75)=0](https://tex.z-dn.net/?f=+x%5E%7B2%7D+%28+x%5E%7B2%7D+-75%29%3D0)
![x^{2} =0 => x=0 x^{2} =0 => x=0](https://tex.z-dn.net/?f=+x%5E%7B2%7D+%3D0++%3D%26gt%3B+x%3D0)
![x^{2} =75 => x=+-5 sqrt{3} x^{2} =75 => x=+-5 sqrt{3}](https://tex.z-dn.net/?f=+x%5E%7B2%7D+%3D75++%3D%26gt%3B+x%3D%2B-5+sqrt%7B3%7D+)
Отрицательное и значение равное 0 не имеют смысла.
Значит условию максимальности площади удовлетворяет х=5√3
Из треуг ОВх cosO=5√3/10 = √3/2, что соответствует углу 30 градусов.
Значит угол ВОА=90-30=60 градусов.
Треугольник ВОА - равнобедренный, так как (ВО=ОА=радиусу) с углом при вершине 60 градусов, значит угол в основании равен: (180-60)/2=60 градусов.
Искомый угол - 60 градусов.
S=2xy+x(R-y) = 2xy+10x-xy=10x+xy
Из треуг ОВх: у=√(100-х²)
S=10x+x√(100-x²)
Находим производную:
100-x²>0 => x<10
Отрицательное и значение равное 0 не имеют смысла.
Значит условию максимальности площади удовлетворяет х=5√3
Из треуг ОВх cosO=5√3/10 = √3/2, что соответствует углу 30 градусов.
Значит угол ВОА=90-30=60 градусов.
Треугольник ВОА - равнобедренный, так как (ВО=ОА=радиусу) с углом при вершине 60 градусов, значит угол в основании равен: (180-60)/2=60 градусов.
Искомый угол - 60 градусов.
Приложения:
![](https://st.uroker.com/files/450/4505d596a364a72cfbc724a4be1a8430.jpg)
Вас заинтересует
1 год назад
1 год назад
6 лет назад
6 лет назад
9 лет назад
9 лет назад
9 лет назад