Question

Профессоры, знатоки по математике... помогите

Боковая сторона равнобочной трапеции равна ее меньшей основе. Каким должен быть угол при большие основе трапеции, чтобы ее площадь была наибольшей

Answer 1

Пусть АВСД трапеция. ВМ и СN высоты проведенны с вершины В и С соотвестенно. Обозначим АВ=ВС=СД=MN=a.
$AD=2AM+a$

С $з,,ABC$(угол АМВ=90градусов):
$cos A= frac{AM}{AB} ;,, AM=cos Acdot AB \ \ sin A= frac{BM}{AB} ;,,BM=sin Acdot AB$
Площадь трапеции: $S= frac{BC+AD}{2} cdot BM= frac{a+a+2acos A}{2}cdot asin A =a^2(1+cos A)sin A$

Рассмотрим функцию:
$y=a^2(1+cos A)sin A=a^2(sin A+cos A)$
Проивзодная функции:
$y'=a^2(2cos^2 A+cos A-1)$
Приравняем производную функцию
$y'=0 \ 2cos^2A+cos A-1=0$
 Пусть $cos A=t$, где |t|≤1, тогда имеем
$2t^2+t-1=0 \ D=b^2-4ac=1+8=9 \ t_1=-1,,,,,,,,,,t_2= frac{1}{2}$
Возвращаемся к замене
$left[begin{array}{ccc}cos A= frac{1}{2} \cos A=-1end{array}rightto left[begin{array}{ccc}A=60а\...end{array}right$

Итак, угол при большей основе - 60 градусов

Ответ: $60а$