Question

Сколько корней имеет уравнение $( sqrt{2} )^x=x,,,?$ без графиков... аналетически...

Answer 1

$(sqrt{2})^x = x$

Запишем уравнение в виде $frac{ln x}{x} = frac{ln 2}{2}$. Очевидно, что х=2 есть корнем данного уравнения.
 Рассмотрим функцию $f(x)= frac{ln x}{x}$. Имеем $f'(x)= frac{1-ln x}{x^2}$, откуда получаем, что функция $f(x)$ возрастает на промежутке $(0;e)$ и уюывает на промежутке $(e;+infty)$, причем $lim_{x to infty} frac{ln x}{x} =0$. Отсюда следует, что уравнение также имеет один корень на промежутке $(e;+infty)$