Question

В треугольника АВС через G обозначено точку пересечения медиан; через r, r1, r2, r3 - радиусы кругов, вписанных в треугольники ABC, GAB, GBC, GAC, соответственно; p - полупериметр треугольника АBC.

$frac{1}{r_1}+ frac{1}{r_2} + frac{1}{r_3} geq frac{3}{r}+ frac{18}{p}$

Answer 1

Пусть $a,,b,,c,,m_a,,m_b,, m_c$ - длины сторон и медиан треугольника ABC, $S_{ABC}=S.$Воспользовавшись формулу $S=pr$ и то, что $S_{GBC}=S_{GAB}=S_{GAC}= frac{S}{3}$, получаем, что нужно доказать неравенство.
    Подставив вместо р и r, получим
$frac{3a+2(m_b+m_c)}{2S} + frac{3b+2(m_a+m_b)}{2S} + frac{3c+2(m_a+m_b)}{2S} geq frac{3(a+b+c)}{2S} + frac{36}{a+b+c}$
Упрощать здесь не буду, но напишу упрощенный
$frac{m_a+m_b+m_c}{S} geq frac{6S}{a+b+c}$
Или имеем такое равенство: $frac{m_a}{3} + frac{m_b}{3}+ frac{m_c}{3} geq frac{6S}{a+b+c}$

Пусть $d_a,, d_b,, d_c-$расстояния от точки G к сторонам a, b, c треугольника АВС. Очевидно, что $d_a leq frac{m_a}{3} ,,d_b leq frac{m_b}{3} ,, d_c= frac{m_c}{3}$ Также имеем$d_a= frac{2S_{GBC}}{a} = frac{2S}{3a}$. Аналогично, $d_b= frac{2S}{3b} ,,, d_c= frac{2S}{3c}$

Достаточно доказать неравентсво $frac{2S}{3a} + frac{2S}{3b}+ frac{2S}{3c} geq frac{6S}{a+b+c}$, которое равносильна неравенству, что выражает отношение между средним арифметическим и средним гармоническим 3 положительных чисел:
        $frac{a+b+c}{3} geq frac{3}{ frac{1}{a}+frac{1}{b}+frac{1}{c} }$