Question

как правильно пишется in the hour или in hour

Answer 1

это зависит от нескольких факторов:
1) если вы уже употребляли hour ,то с the 
2) если вы говорите об определенном часе ,тогда тоже с the
3) in an hour(когда упоминаем в первый раз)
в данном предложении я бы употребила an,ТОЧНО БЕЗ The!

Answer 2

We are going to be at home in an hour.