Question

Найдите наименьшее значение функции y=x^3-12x^2+36x+3 на отрезке [4;12]

Answer 1

y(x) = x³ - 12x² + 36x + 3

Решение:

Находим производную функции у(х):
y ` (x) = 3x² - 24x + 36

Приравниваем производную к нулю, находим корни (т. Виета):
3x² - 24x + 36 = 0
x² - 8x + 12 = 0

x1+x2 = 8
x1 * x2 = 12

x1 = 2
x2 = 6

Нашли две точки экстремума. Определим знаки производной в двух интервалах между ними, чтобы понять промежутки возрастания и убывания функции у(х):
y ` (0) = 36
y ` (4) = 3 * 4² - 24*4 + 36 = 48 - 96 + 38 = -12

x=2 - точка максимума
x=6 - точка минимума

Определяем значение функции в точке минимума, а так же на граничных точках заданного интервала [4;12] :

y(4) = 4³ - 12*4² + 36*4 + 3 = 19
y(6) = 6³ - 12*6² + 36*6 + 3 = 3
y(12) = 12³ - 12³ + 36*12 + 3 = 435

Ответ: Наименьшее значение функции равно 3, при аргументе равном 6.

P.S. Для наглядности график в приложении.