Question

Найдите наименьшее натуральное число, имеющее ровно 55 натуральных делителей, считая единицу и само число.

Answer 1

По основной теореме арифметики любое натуральное число n можно разложить на простые множители, а именно, его можно записать в виде:
$n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}cdotldotscdot p_k^{a_k}$, причем это представление единственное с точностью до перестановки множителей (здесь $p_i$ - различные простые и $a_ige1$). Любой положительный делитель d числа n (включая 1 и само n) имеет такой же вид $d=p_1^{b_1}p_2^{b_2}cdotldotscdot p_k^{b_k}$, только $0le b_ile a_i$.  Поскольку каждое $b_i$ может принимать $a_i+1$ значение, то количество делителей числа n равно $(a_1+1)(a_2+1)cdotldotscdot(a_k+1)$.

В искомом числе это произведение равно $55=5cdot11$, т.е. либо число состоит из одного простого, и тогда $a_1+1=55$, либо число состоит из двух простых, и тогда  $a_1+1=5, a_2+1=11$. Чтобы число было наименьшим, простые, входящие в его разложение, должны быть минимально возможными, т.е. равны 2 и 3, причем у большего простого должна быть меньшая степень. Таким образом, возможны два варианта для  искомого числа: $n=2^{54}$ или $n=2^{10}3^4$. Поскольку второе число, очевидно, меньше первого, то ответ  $2^{10}3^4=82944$.