Question

Помогите решить сложную головоломку.
Плачу 40 балов

Answer 1

Здесь все не так уж и сложно.
1. Различных расстояний между центрами клеток всего 14 штук. Т.к. кружков всего 15, то все возможные расстояния должны быть задействованы, причем каждое по одному разу.  Каждое такое расстояние есть гипотенуза некоторого прямоугольного треугольника. Если квадраты этих расстояний упорядочить по возрастанию (а значит и сами расстояния), и выписать катеты соответствующих им треугольников, то получится следующее:
1) катеты (1,0) дают квадрат расстояния равный 1
2) катеты (1,1) дают квадрат расстояния равный 2
3) катеты (2,0) дают квадрат расстояния равный 4
4) катеты (1,2) дают квадрат расстояния равный 5
5) катеты (2,2) дают квадрат расстояния равный 8
6) катеты (3,0) дают квадрат расстояния равный 9
7) катеты (3,1) дают квадрат расстояния равный 10
8) катеты (3,2) дают квадрат расстояния равный 13
9) катеты (4,0) дают квадрат расстояния равный 16
10) катеты (1,4) дают квадрат расстояния равный 17
11) катеты (3,3) дают квадрат расстояния равный 18
12) катеты (2,4) дают квадрат расстояния равный 20
13) катеты (3,4) дают квадрат расстояния равный 25
14) катеты (4,4) дают квадрат расстояния равный 32
Таким образом. становится понятным, как надо расставлять номера кружков. В углах квадрата обязаны быть только 14 и 15, т.к. расстояние $\sqrt{32}$ достигается только на этих клетках. Есть только 2 варианта расположения кружков 14 и 15. Дальше смотрим возможные варианты по катетам: Расстояние между 13-ым и 14-ым кружками должно равняться 5. И получается оно при катетах 3 и 4. Поэтому, при каждом выборе кружков 14, 15 есть только 2 варианта расположения для кружка 13. Дальше расстояние между 13-ым и 12-ым должно быть $\sqrt{20}$ с катетами 2 и 4. Оно определяется однозначано. Так мы двигаемся по уменьшению номеров кружков до тех пор, пока не упремся в тупик, когда нет нужного кружка. У меня получилось, что возможна только одна комбинация, изображенная на картинке. Но, есть вероятность, что я пропустил какой-нибудь вариант расположения. Но это вы сами перепроверите, если поймете как это все строится.

2. Что касается 3-его вопроса, то в нем все делается аналогично, только квадрат 4х4. Всего имеется 9 различных расстояний, значит максимальное количество кружков, удовлетворяющих условию задачи, и которое можно впихнуть в квадрат равно 10.
Опять максимальное расстояние равное $3 \sqrt{2}$ достигается в диагональных углах квадрата. Значит кружки 10, 9 должны стоять в них. Ну а дальше, все как и в первой задаче. Пример расстановки показан на 2-м рисунке. Больше кружков нельзя вставить, потому что задействованы все возможные расстояние между центрами клеток.