Ответы
№1
1.1.
Докажите, что ∆ АDЕ=∆ СЕD.
В четырехугольнике АDFС противоположные стороны попарно параллельны ( дано)
Если противоположные стороны четырехугольника попарно параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм
∆ АВС- равнобедренный, DЕ||АС=>
Углы ∆ DBE при основании DE равны углам ∆ АВС при основании АС.
∆ BDC~∆ ABC по равным углам. =>
∆ BDE- равнобедренный. ВD=BE=7.
AB=BC=13
AD=EC=13-7=6
<BDE=<BED.
<АDE=<CED - смежные им
В ∆ АDЕ и ∆ СЕD равны две стороны и угол между ними.
∆ АDЕ=∆ СЕD по 1-му признаку равенства треугольников.
1.2.
Докажите, что ∆ ЕСF~∆ АВС
СF||АВ, ВС - секущая, => накрестлежащие ∠АВС=∠ВСF .
Углы при Е равны как вертикальные. ∆ ЕСF~∆ АВС по двум равным углам.
1.3
Найдите ЕF.
Из доказанного выше подобия ∆ ЕСF и ∆ АВС следует отношение:
ЕF:АС=ЕС:СВ; ЕF:10=6:13=> ЕF=60/13
1.4.
Найдите высоту ∆ АВС, опущенную на боковую сторону.
По ф. Герона:
S=√[p•(p-a)•(p-b)•(p-c)], где р - полупериметр, а, b и с - стороны.
p=(13+13+10):2=18
S=√[18•5•5•8]=√[9•2•5•5•4•2]=3•4•5=60
Из другой формулы площади треугольника
S=a•h:2 найдем высоту h опущенную на АВ.
S=60=> h=2S:АВ=120:13=9 ³/₁₃
1.5
Найдите отношение S(ADE):S(DCF)
Т.к. АDFС параллелограмм, DF=АC=10
DE║AC, поэтому высоты ∆ ADE и ∆ DCF равны.
Отношению площадей треугольников с равными высотами равно отношению их оснований.
S(ADE):S(DCF)=DE:DF
DE=DF-EF=10-(60/13)=70/13
DE:DF=(70/13):10=7/13
S(ADE):S(DCF)=7/13
–––––––––––––––––––––––––
2.
Высоты треугольника пересекаются в одной точке.
Высоты, проведенные из вершин острых углов тупоугольного треугольника, расположены вне треугольника и пересекают продолжения сторон, к которым проведены.
На рисунке ∆ АВС - тупоугольный. АК, ВН и СТ - его высоты.
М - искомая точка.
