Question

Докажите, что многочлен 9y^2-6y+2m^2 +2 принимает только положительные значения.

Answer 1

рассмотрим функцию f(y) = 9y^2 -6y+2m^2+2, это парабола, ветви вверх, найдем y0 координату вершины
 
y0 = -(b^2-4ac)/4a = -(36-4*9(2m^2+2))/36 =-(36-72(m^2+1))/36 = -(1-2(m^2+1))= -1+2(m^2+1)
Легко видеть, что (m^2+1) >= 1 для любых m, тогда 2(m^2+1) >=2,  откуда и  2(m^2+1) -1 >= 1. Следовательно,  для любых m координата y вершины параболы f(y) > 0, откуда следует что f(y) принимает только положительные значения при любых m