Question

Решите дифференциальное уравнение: y`-xy^2=2xy

Answer 1

Это дифференциальное уравнение первого порядка является линейным, так как функция y  и её производная y' содержатся только в первой степени.
$y'-xy^2=2xy;$
$y'=xy^2+2xy;$
$y'=x(y^2+2y);$
Разделим данное уравнение на $(y^2+2y)$, получим 
$\frac{1}{(y^2+2y)} \cdot y'=x;$
$\frac{1}{(y^2+2y)} \cdot \frac{dy}{dx} =x;$
$\frac{1}{(y^2+2y)} \cdot dy =xdx;$
Это уравнение с разделяющимися переменными.
Вычислим интегралы от выражений, стоящих в левой и правой частях уравнения:$\int\limits {\frac{1}{(y^2+2y)}} \, dy= \int\limits {x} \, dx +C;$
Находим левый интеграл
Разложим подынтегральную дробь на простейшие дроби
$\frac{1}{(y^2+2y)}=\frac{1}{y(y+2)}= \frac{A}{y}+\frac{B}{y+2}=\frac{Ay+2A+By}{y(y+2)}=\frac{(A+B)y+2A}{y(y+2)};$
$\left \{ {{A+B=0} \atop {2A=1}} \right. \left \{ {{A=-B} \atop {A= \frac{1}{2} }} \right. \left \{ {{B=-\frac{1}{2} \atop {A= \frac{1}{2} }} \right.$
$\frac{1}{(y^2+2y)}= \frac{1}{2y}-\frac{1}{2(y+2)}$
$\int\limits {\frac{1}{(y^2+2y)}} \, dy=\int\limits { \frac{1}{2y}} \, dy-\int\limits {\frac{1}{2(y+2)}} \, dy=$
$=\frac{1}{2}lny-\frac{1}{2}ln(y+2)+C$
Находим правый  интеграл:  $\int\limits {x} \, dx = \frac{1}{2} x^{2}+C;$
Таким образом, общий интеграл уравнения имеет вид 
 $\frac{1}{2}lny-\frac{1}{2}ln(y+2)= \frac{1}{2} x^{2}+C;$