Ответы
Ответ дал:
8
Это дифференциальное уравнение первого порядка является
линейным, так как функция y и её
производная y' содержатся только в первой степени.
![y'-xy^2=2xy; y'-xy^2=2xy;](https://tex.z-dn.net/?f=y%27-xy%5E2%3D2xy%3B)
![y'=xy^2+2xy; y'=xy^2+2xy;](https://tex.z-dn.net/?f=y%27%3Dxy%5E2%2B2xy%3B)
![y'=x(y^2+2y); y'=x(y^2+2y);](https://tex.z-dn.net/?f=y%27%3Dx%28y%5E2%2B2y%29%3B)
Разделим данное уравнение на
, получим
![\frac{1}{(y^2+2y)} \cdot y'=x; \frac{1}{(y^2+2y)} \cdot y'=x;](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7B1%7D%7B%28y%5E2%2B2y%29%7D+%5Ccdot+y%27%3Dx%3B)
![\frac{1}{(y^2+2y)} \cdot \frac{dy}{dx} =x; \frac{1}{(y^2+2y)} \cdot \frac{dy}{dx} =x;](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B1%7D%7B%28y%5E2%2B2y%29%7D+%5Ccdot++%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D+%3Dx%3B)
![\frac{1}{(y^2+2y)} \cdot dy =xdx; \frac{1}{(y^2+2y)} \cdot dy =xdx;](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B1%7D%7B%28y%5E2%2B2y%29%7D+%5Ccdot++dy+%3Dxdx%3B)
Это уравнение с разделяющимися переменными.
Вычислим интегралы от выражений, стоящих в левой и правой частях уравнения:![\int\limits {\frac{1}{(y^2+2y)}} \, dy= \int\limits {x} \, dx +C; \int\limits {\frac{1}{(y^2+2y)}} \, dy= \int\limits {x} \, dx +C;](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cint%5Climits+%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B%28y%5E2%2B2y%29%7D%7D+%5C%2C+dy%3D+%5Cint%5Climits+%7Bx%7D+%5C%2C+dx+%2BC%3B)
Находим левый интеграл
Разложим подынтегральную дробь на простейшие дроби
![\frac{1}{(y^2+2y)}=\frac{1}{y(y+2)}= \frac{A}{y}+\frac{B}{y+2}=\frac{Ay+2A+By}{y(y+2)}=\frac{(A+B)y+2A}{y(y+2)}; \frac{1}{(y^2+2y)}=\frac{1}{y(y+2)}= \frac{A}{y}+\frac{B}{y+2}=\frac{Ay+2A+By}{y(y+2)}=\frac{(A+B)y+2A}{y(y+2)};](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B1%7D%7B%28y%5E2%2B2y%29%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7By%28y%2B2%29%7D%3D+%5Cfrac%7BA%7D%7By%7D%2B%5Cfrac%7BB%7D%7By%2B2%7D%3D%5Cfrac%7BAy%2B2A%2BBy%7D%7By%28y%2B2%29%7D%3D%5Cfrac%7B%28A%2BB%29y%2B2A%7D%7By%28y%2B2%29%7D%3B+)
![\left \{ {{A+B=0} \atop {2A=1}} \right. \left \{ {{A=-B} \atop {A= \frac{1}{2} }} \right. \left \{ {{B=-\frac{1}{2} \atop {A= \frac{1}{2} }} \right. \left \{ {{A+B=0} \atop {2A=1}} \right. \left \{ {{A=-B} \atop {A= \frac{1}{2} }} \right. \left \{ {{B=-\frac{1}{2} \atop {A= \frac{1}{2} }} \right.](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cleft+%5C%7B+%7B%7BA%2BB%3D0%7D+%5Catop+%7B2A%3D1%7D%7D+%5Cright.+%5Cleft+%5C%7B+%7B%7BA%3D-B%7D+%5Catop+%7BA%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+%7D%7D+%5Cright.++%5Cleft+%5C%7B+%7B%7BB%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+%5Catop+%7BA%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+%7D%7D+%5Cright.+)
![\frac{1}{(y^2+2y)}= \frac{1}{2y}-\frac{1}{2(y+2)} \frac{1}{(y^2+2y)}= \frac{1}{2y}-\frac{1}{2(y+2)}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B1%7D%7B%28y%5E2%2B2y%29%7D%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B2y%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%28y%2B2%29%7D)
![\int\limits {\frac{1}{(y^2+2y)}} \, dy=\int\limits { \frac{1}{2y}} \, dy-\int\limits {\frac{1}{2(y+2)}} \, dy= \int\limits {\frac{1}{(y^2+2y)}} \, dy=\int\limits { \frac{1}{2y}} \, dy-\int\limits {\frac{1}{2(y+2)}} \, dy=](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cint%5Climits+%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B%28y%5E2%2B2y%29%7D%7D+%5C%2C+dy%3D%5Cint%5Climits+%7B+%5Cfrac%7B1%7D%7B2y%7D%7D+%5C%2C+dy-%5Cint%5Climits+%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%28y%2B2%29%7D%7D+%5C%2C+dy%3D)
![=\frac{1}{2}lny-\frac{1}{2}ln(y+2)+C =\frac{1}{2}lny-\frac{1}{2}ln(y+2)+C](https://tex.z-dn.net/?f=%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dlny-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dln%28y%2B2%29%2BC)
Находим правый интеграл:![\int\limits {x} \, dx = \frac{1}{2} x^{2}+C; \int\limits {x} \, dx = \frac{1}{2} x^{2}+C;](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cint%5Climits+%7Bx%7D+%5C%2C+dx+%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+x%5E%7B2%7D%2BC%3B+)
Таким образом, общий интеграл уравнения имеет вид
Разделим данное уравнение на
Это уравнение с разделяющимися переменными.
Вычислим интегралы от выражений, стоящих в левой и правой частях уравнения:
Находим левый интеграл
Разложим подынтегральную дробь на простейшие дроби
Находим правый интеграл:
Таким образом, общий интеграл уравнения имеет вид
Вас заинтересует
11 месяцев назад
11 месяцев назад
1 год назад
6 лет назад
7 лет назад