Question

укажите хотя бы один делитель числа 4^2010+ 2^2009 +3

Answer 1

Заметим, что 4^2+2^1+3=21 делится на 3
4^4+2^3+3=267 делится на 3
Запишем это как 4^(2n)+2^(2n-1)+3 и докажем по индукции, что любое число такого вида делится на 3:
Пусть при n=k
4^(2k)+2^(2k-1)+3 делится на 3, тогда
при n=k+1
4^(2k+2)+2^(2k+1)+3=16*4^(2k)+4^2^(2k-1)+3=15*4^(2k)+3*2^(2k-1)+4^(2k)+2^(2k-1)+3=3*(5*4^(2k)+2^(2k-1)) + 4^(2k)+2^(2k-1)+3 тоже делится на 3, так как 4^(2k)+2^(2k-1)+3 делится на 3.

А значит при n=1005 число 4^2010+2^2009+3 тоже делится на 3 и 3 будет одним из делителей.