Question

Вычислите площадь фигуры заключенной между следующими линиями: a) осями координат, прямой х=5 и кривой y=2x^2-5 b) пораболой y=5x^2-2x и осью Ox

Answer 1

а) Наудем точку пересечения кривой с осью х:

2$2x^{2}-5=0\ x^{2}=2,5\ x=± frac{sqrt{10}}{2}$

Площадь фигуры между линиями равна определенному интегралу в интервале значений х, а подинтегральном выражении разность функции(функция выше минус функция ниже).

Получаем сумму двух интегралов:

$intlimits^frac{sqrt{10}}{2}_0 {0-(2x^{2}-5)} , dx+ intlimits^5_frac{sqrt{10}}{2}} {2x^{2}-5} , dx$

$intlimits^frac{sqrt{10}}{2}_0 {0-(2x^{2}-5)} , dx= intlimits^frac{sqrt{10}}{2}_0 {5-2x^{2}} , dx=5x-frac{2x^{3}}{3}|limits^frac{sqrt{10}}{2}_0=\=frac{5sqrt{10}}{2}-frac{20sqrt{10}}{24}=frac{40sqrt{10}}{24}=frac{5sqrt{10}}{3}$

$intlimits^5_frac{sqrt{10}}{2}} {2x^{2}-5} , dx = (frac{2x^{3}}{3}-5x)|limits^5_frac{sqrt{10}}{2}}=frac{250}{3}-25-frac{20sqrt{10}}{3}+frac{5sqrt{10}}{2} =\=frac{5sqrt{10}}{3} +frac{175}{3}$

Складываем:

$frac{5sqrt{10}}{3} +frac{175}{3} +frac{5sqrt{10}}{3} = frac{10sqrt{10}+175}{3}$

 

б) находим точки пересечения с осью y

$5x^{2}-2x=0\ x(5x-2)=0\ x = 0 5x=2\ / x = 0,4$

Получаем интеграл:

$intlimits^frac{2}{5}_0 {0 -(5x^{2}-2x)} , dx = (x^{2}-frac{5x^{3}}{3})|limits^frac{2}{5}_0=frac{16}{100}-frac{32}{300}=frac{16}{300}=frac{4}{75}$