Question

Ребята,умники,помогите с решением!Очень нужно!Задача из ГИА.
Четырёхугольник ABCD со сторонами AB=43 и CD=4 вписан в окружность.Диагонали АС и ВD пересекаются в точке К,причём <(угол) AKB=60.Найдите радиус окружности,описанной около этого четырёхугольника.

Answer 1

   Есть несколько способов решения , к примеру продление до трапеций , либо   так , пусть угол $BAC= \beta$ , тогда $ABD=120а- \beta$ , тогда из треугольников  $ABK;KDC$ 
 $BK=\frac{86sin \beta }{ \sqrt{3}} \\ KD=\frac{4sin(\frac{2\pi}{3}- \beta )}{sin\frac{\pi}{3}}$ 
 То есть
 $BD = \frac{86sin \beta +4sin \beta }{\sqrt{3}}+4*cos \beta \\ AB=43$ 
  тогда  $BC$ по теореме косинусов , из треугольника   $BDC$ 
  $BC=2\sqrt{679}sin \beta$  
    
 Если радиус описанной окружности равен  $R$   , то используя то что ,   центральный угол  равен  удвоенному вписанному углу опирающуюся   на туже дугу  
 $2R^2-2R^2*cos2\beta=(2*\sqrt{679}*sin\beta)^2 \\ 2R^2(1-cos2\beta) = 2*2*679*sin^2\beta\\ R^2=\frac{679*2*sin^2\beta}{2sin^2\beta} = 679\\ R=\sqrt{679}$