Question

Найдите периметр четырехугольника, в котором АВ = CD = a, угол BAD = углу BCD= а < 90°, ВС не равен AD.

Answer 1

Пусть BC=x, AD=y. По теореме косинусов
из треугольника BCD: $BD^2=a^2+x^2-2ax\cos\alpha,$
из треугольника ABD: $BD^2=a^2+y^2-2ay\cos\alpha.$
Значит, $x^2-2ax\cos\alpha=y^2-2ay\cos\alpha$, откуда
$(x-y)(x+y-2a\cos\alpha)=0.$ Т.к. по условию $x\neq y$, то.$x+y=2a\cos\alpha$. Т.е. периметр ABCD равен $2a+x+y=2a+2a\cos\alpha=2a(1+\cos\alpha).$