![\frac{(x^{2}+1)^{2}}{x(x+1)^{2}} = \frac{625}{112} \frac{(x^{2}+1)^{2}}{x(x+1)^{2}} = \frac{625}{112}](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7B%28x%5E%7B2%7D%2B1%29%5E%7B2%7D%7D%7Bx%28x%2B1%29%5E%7B2%7D%7D+%3D+%5Cfrac%7B625%7D%7B112%7D)
Как решить теорема Безу не помогает.
Kulakca:
ну и пишите ;) мне в принципе не нужно даже выкладывать решение ;)
Ответы
Ответ дал:
3
Решение. Разделим числитель и знаменатель на
, получим
![\dfrac{(x+\frac1x)^2}{(\sqrt x+\frac1{\sqrt x})^2}=\dfrac{625}{112} \dfrac{(x+\frac1x)^2}{(\sqrt x+\frac1{\sqrt x})^2}=\dfrac{625}{112}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdfrac%7B%28x%2B%5Cfrac1x%29%5E2%7D%7B%28%5Csqrt+x%2B%5Cfrac1%7B%5Csqrt+x%7D%29%5E2%7D%3D%5Cdfrac%7B625%7D%7B112%7D)
(Понятно, что x > 0)
Сделаем замену
. Подмечая, что
, легко выразить всю левую часть уравнения в терминах t:
![\dfrac{(t^2-2)^2}{t^2}=\dfrac{625}{112}\\
\left(t-\dfrac2t\right)^2=\dfrac{625}{112}\\
t-\dfrac2t=\pm\sqrt{\dfrac{625}{112}}=\pm\dfrac{25}{4\sqrt7} \dfrac{(t^2-2)^2}{t^2}=\dfrac{625}{112}\\
\left(t-\dfrac2t\right)^2=\dfrac{625}{112}\\
t-\dfrac2t=\pm\sqrt{\dfrac{625}{112}}=\pm\dfrac{25}{4\sqrt7}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdfrac%7B%28t%5E2-2%29%5E2%7D%7Bt%5E2%7D%3D%5Cdfrac%7B625%7D%7B112%7D%5C%5C%0A%5Cleft%28t-%5Cdfrac2t%5Cright%29%5E2%3D%5Cdfrac%7B625%7D%7B112%7D%5C%5C%0At-%5Cdfrac2t%3D%5Cpm%5Csqrt%7B%5Cdfrac%7B625%7D%7B112%7D%7D%3D%5Cpm%5Cdfrac%7B25%7D%7B4%5Csqrt7%7D)
После домножения на t и переноса всего в одну часть будем иметь 2 уравнения
![t^2\mp\dfrac{25}{4\sqrt7}t-2=0 t^2\mp\dfrac{25}{4\sqrt7}t-2=0](https://tex.z-dn.net/?f=t%5E2%5Cmp%5Cdfrac%7B25%7D%7B4%5Csqrt7%7Dt-2%3D0)
Аккуратно считаем дискриминант:
![D=\dfrac{625}{112}+8=\dfrac{1521}{112}=\dfrac{39^2}{112} D=\dfrac{625}{112}+8=\dfrac{1521}{112}=\dfrac{39^2}{112}](https://tex.z-dn.net/?f=D%3D%5Cdfrac%7B625%7D%7B112%7D%2B8%3D%5Cdfrac%7B1521%7D%7B112%7D%3D%5Cdfrac%7B39%5E2%7D%7B112%7D)
Тогда все корни этих уравнений задаются выражением (плюсы-минусы выбираются независимо)
![\dfrac12\left(\pm\dfrac{25}{4\sqrt7}\pm\dfrac{39}{4\sqrt{7}}\right) \dfrac12\left(\pm\dfrac{25}{4\sqrt7}\pm\dfrac{39}{4\sqrt{7}}\right)](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdfrac12%5Cleft%28%5Cpm%5Cdfrac%7B25%7D%7B4%5Csqrt7%7D%5Cpm%5Cdfrac%7B39%7D%7B4%5Csqrt%7B7%7D%7D%5Cright%29)
Положительные корни это:
![t_1=\dfrac{14}{8\sqrt7}=\dfrac{\sqrt7}4\ \textless \ 1\\
t_2=\dfrac{64}{8\sqrt7}=\dfrac{8}{\sqrt7} t_1=\dfrac{14}{8\sqrt7}=\dfrac{\sqrt7}4\ \textless \ 1\\
t_2=\dfrac{64}{8\sqrt7}=\dfrac{8}{\sqrt7}](https://tex.z-dn.net/?f=t_1%3D%5Cdfrac%7B14%7D%7B8%5Csqrt7%7D%3D%5Cdfrac%7B%5Csqrt7%7D4%5C+%5Ctextless+%5C+1%5C%5C%0At_2%3D%5Cdfrac%7B64%7D%7B8%5Csqrt7%7D%3D%5Cdfrac%7B8%7D%7B%5Csqrt7%7D)
Первый корень не даст вещественных иксов: уравнения вида u+1/u=a не имеют положительных решений при a<1. Раскручиваем второй корень:
![\sqrt x+\dfrac1{\sqrt x}=\dfrac8{\sqrt7} \sqrt x+\dfrac1{\sqrt x}=\dfrac8{\sqrt7}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Csqrt+x%2B%5Cdfrac1%7B%5Csqrt+x%7D%3D%5Cdfrac8%7B%5Csqrt7%7D)
Два корня можно либо угадать сразу, либо сделать замену, обозначив корень новой буквой. Мне удобней возвести в квадрат и уже потом решать.
![x+2+\dfrac1x=\dfrac{64}7\\
x+\dfrac1x=\dfrac{50}7=7\dfrac17\\
\boxed{x\in\left\lbrace7;\dfrac17\right\rbrace} x+2+\dfrac1x=\dfrac{64}7\\
x+\dfrac1x=\dfrac{50}7=7\dfrac17\\
\boxed{x\in\left\lbrace7;\dfrac17\right\rbrace}](https://tex.z-dn.net/?f=x%2B2%2B%5Cdfrac1x%3D%5Cdfrac%7B64%7D7%5C%5C%0Ax%2B%5Cdfrac1x%3D%5Cdfrac%7B50%7D7%3D7%5Cdfrac17%5C%5C%0A%5Cboxed%7Bx%5Cin%5Cleft%5Clbrace7%3B%5Cdfrac17%5Cright%5Crbrace%7D)
(Понятно, что x > 0)
Сделаем замену
После домножения на t и переноса всего в одну часть будем иметь 2 уравнения
Аккуратно считаем дискриминант:
Тогда все корни этих уравнений задаются выражением (плюсы-минусы выбираются независимо)
Положительные корни это:
Первый корень не даст вещественных иксов: уравнения вида u+1/u=a не имеют положительных решений при a<1. Раскручиваем второй корень:
Два корня можно либо угадать сразу, либо сделать замену, обозначив корень новой буквой. Мне удобней возвести в квадрат и уже потом решать.
Вас заинтересует
11 месяцев назад
11 месяцев назад
6 лет назад
6 лет назад