Question

$\frac{(x^{2}+1)^{2}}{x(x+1)^{2}} = \frac{625}{112}$

Как решить теорема Безу не помогает.

Answer 1

Решение. Разделим числитель и знаменатель на $x^2$, получим
$\dfrac{(x+\frac1x)^2}{(\sqrt x+\frac1{\sqrt x})^2}=\dfrac{625}{112}$
(Понятно, что x > 0)

Сделаем замену $t=\sqrt x+\frac1{\sqrt{x}}>0$. Подмечая, что $t^2=x+2+\frac 1x$, легко выразить всю левую часть уравнения в терминах t:

$\dfrac{(t^2-2)^2}{t^2}=\dfrac{625}{112}\\ \left(t-\dfrac2t\right)^2=\dfrac{625}{112}\\ t-\dfrac2t=\pm\sqrt{\dfrac{625}{112}}=\pm\dfrac{25}{4\sqrt7}$

После домножения на t и переноса всего в одну часть будем иметь 2 уравнения
$t^2\mp\dfrac{25}{4\sqrt7}t-2=0$

Аккуратно считаем дискриминант:
$D=\dfrac{625}{112}+8=\dfrac{1521}{112}=\dfrac{39^2}{112}$

Тогда все корни этих уравнений задаются выражением (плюсы-минусы выбираются независимо)
$\dfrac12\left(\pm\dfrac{25}{4\sqrt7}\pm\dfrac{39}{4\sqrt{7}}\right)$

Положительные корни это:
$t_1=\dfrac{14}{8\sqrt7}=\dfrac{\sqrt7}4\ \textless \ 1\\ t_2=\dfrac{64}{8\sqrt7}=\dfrac{8}{\sqrt7}$

Первый корень не даст вещественных иксов: уравнения вида u+1/u=a не имеют положительных решений при a<1. Раскручиваем второй корень:
$\sqrt x+\dfrac1{\sqrt x}=\dfrac8{\sqrt7}$

Два корня можно либо угадать сразу, либо сделать замену, обозначив корень новой буквой. Мне удобней возвести в квадрат и уже потом решать.

$x+2+\dfrac1x=\dfrac{64}7\\ x+\dfrac1x=\dfrac{50}7=7\dfrac17\\ \boxed{x\in\left\lbrace7;\dfrac17\right\rbrace}$