Question

Определить количество корней уравнения cos2x-cos8x=sin5x на промежутке [0;Пи]

Answer 1

cos2x - cos8x = sin5x
-2sin5x * sin3x = sin5x
-sin5x (2sin3x + 1)=0
sin 5x =0
5x = πk, k ∈ Z
x = πk/5, k ∈ Z

sin3x = -0.5
3x = $(-1)^{k}\cdot \frac{\pi}{6} + \pi k,k \in Z$
$x=(-1)^{k}\cdot \frac{\pi}{18}+ \frac{\pi k}{3}, k \in Z$

Отбор корней

Для корня x = πk/5
k=0; x=0
k=1; x=π/5
k=2; x=2π/5
k=3; x=3π/5
k=4; x=4π/5
k=5; x=π

Для корня $x=(-1)^{k}\cdot \frac{\pi}{18}+ \frac{\pi k}{3}$
k=1; x=7π/18
k=2; x=13π/18
k=3; x=17π/18

Кол-во корней: 8

Answer 2

Есть формулы сложения/вычитания косинусов.
cos a - cos b = -2sin ((a+b)/2)*sin ((a-b)/2)
В нашем случае
cos 2x - cos 8x = -2sin 5x*sin (-3x) = 2sin 5x*sin 3x
Получаем уравнение
2sin 5x*sin 3x = sin 5x
1) sin 5x = 0, 5x = pi*k, x = pi/5*k
На промежутке [0, pi] будут корни 0, pi/5, 2pi/5, 3pi/5, 4pi/5, pi - 5 корней
2) 2sin 3x = 1, sin 3x = 1/2,
3x = pi/6 + 2pi*n, x = pi/18 + 2pi/3*n = pi/18 + 12pi/18*n
На промежутке [0, pi] будут корни pi/18, 13pi/18 - 2 корня
3x = 5pi/6 + 2pi*m, x = 5pi/18 + 2pi/3*m = 5pi/18 + 12pi/18*m
На промежутке [0, pi] будут корни 5pi/18, 17pi/18 - 2 корня.
Всего 9 корней.