Question

2\7^x-7 больше или равен 5\7^x-4
Решите пожалуйста, сомневаюсь в своем ответе.

Answer 1

$\frac{2}{7^x-7} \geq \frac{5}{7^x-4}$

ОДЗ
$1) \ 7^x-7 \neq 0 \\ \\ 7^x \neq 7 \ \ \ \Rightarrow \ \ \ x \neq 1$

$2) \ 7^x-4 \neq 0 \\ \\ 7^x \neq 4 \ \ \ \Rightarrow \ \ \ x \neq log_74$

Решение
$\frac{2}{7^x-7} \geq \frac{5}{7^x-4} \\ \\ \frac{2}{7^x-7} - \frac{5}{7^x-4} \geq 0 \\ \\ \frac{2*{(7^x-4)-5*{(7^x-7)}}}{(7^x-7)(7^x-4)} \geq 0 \\ \\ \frac{-3*{(7^x-9)}}{(7^x-7)(7^x-4)} \geq 0$

Решаем методом интервалов
$\frac{-3*{(7^x-9)}}{(7^x-7)(7^x-4)} = 0$

1) 
$-3*(7^x-9) = 0 \\ \\ 7^x = 9 \\ \\ x = log_79$

2) 
$(7^x-7)(7^x-4) = 0 \\ \\ (7^x-7) = 0 \ \ ; \ \ (7^x-4) = 0 \\ \\ 7^x = 7^1 \ \ \ \ \ \ \ ; \ \ \ 7^x = 4 \\ \\ x = 1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ; \ \ \ x = log_74$

Наносим на числовую ось нули функции и вычисляем знак на каждом промежутке (см. рис.)

Учитываем ОДЗ, запишем ответ.

Ответ:  
$(- \infty ; \ log_74) \ \bigcup \ ( 1 \ ; \ log_79 \ ]$

Answer 2

$\frac{2}{7^x-7} \geq \frac{5}{7^x-4} \\ D(y): \ 7^x \neq 7, \ 7^x \neq 4\\ x \neq 1, \ x \neq log_74\\ 7^x=m\\ \frac{2}{m-7} \geq \frac{5}{m-4} \\ \frac{2(m-4)-5(m-7)}{(m-4)(m-7)} \geq 0\\ \frac{2m-4-5m+35}{(m-4)(m-7)} \geq 0\\ \frac{3m-27}{(m-4)(m-7)} \leq 0\\ \frac{m-9}{(m-4)(m-7)} \leq 0$

///////////               /////////////
______o_____o______.______
             4           7             9
m∈(-∞;4)U(7;9]
Сделаем обратную замену:
$7^x\ \textless \ 4 \ U \ 7\ \textless \ 7^x \leq 9\\ x\ \textless \ log_74 \ U \ 1\ \textless \ x \leq log_79$
Объединим эти решения с ОДЗ:
//////////              /////////
_____o_____o____.____
     log_7(4)      1   log_7(9)

Ответ: $x\in(-\infty;log_74)U(1;log_79]$