Question

Помогите плиз:Найдите наименьшее число, записываемое одними единицами, которое кратно стозначному числу, записываемое одними тройками.

Answer 1

Число состоящее из n единиц равно $(10^n-1)/9.$
100-значное, состоящее из одних троек равно $(10^{100}-1)/3.$
Поэтому надо найти минимальное n, такое что $(10^n-1)/9=k(10^{100}-1)/3,$ т.е. $10^n-1$ должно делиться на $3(10^{100}-1).$
Это может быть только если n кратно 100 (т.к. можем представить n=100m+r, и делимость будет только если r=0).Значит минимальное 200. Но т.к. надо чтобы число делилось еще на 3 то должно быть n=300

Answer 2

[подчёркнутое число обозначает, что в его записи 100 цифр]
    Запишем число 333...333 в виде произведения:
333....333 = 3* 111....111
Множители взаимно простые, значит искомое число Х должно делиться на оба числа: 3 и 111...111
1) Чтоб число Х делилось на 3, количество единичек в нём должно быть кратно 3.
2) Чтоб число Х делилось на 111...111, число Х должно содержать целое число групп по сто единичек: одну, две, три, четыре и так далее.
    Наименьшее из чисел, которое удовлетворяет этим двум условиям - это 111111...111111 (300 единичек)